Ekstremal masalalar
Javoblar ota-onalar va o‘qituvchilar uchun.
1
Tomonlari x va 18 − x (m) bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi eng katta bo‘ladigan x ni toping va shu yuzni hisoblang.
81
2
s(t) = −t³ + 15t² (m) qonun bo‘yicha harakatda eng katta tezlik qaysi paytda va qancha bo‘ladi?
v = −3t² + 30t, a = −6t + 30 = 0 ⇒ t = 5 s; v(5) = −75 + 150 = 75 m/s.
3
Foyda P(x) = −4x² + 200x − 900 (ming so‘m), x — oyda ishlab chiqarilgan mahsulot soni. Foyda eng katta bo‘lishi uchun nechta mahsulot ishlab chiqarish kerak va u qancha?
P′ = −8x + 200 = 0 ⇒ x = 25; P(25) = −2500 + 5000 − 900 = 1600 ming so‘m = 1 600 000 so‘m.
4
Radiusi 5 cm bo‘lgan doiraga ichki chizilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar ichida yuzi eng kattasining o‘lchamlarini va yuzini toping.
Tomonlar 2x va 2√(25 − x²), S = 4x√(25 − x²), 0 < x < 5. S′ = 4(25 − 2x²)/√(25 − x²) = 0 ⇒ x = 5/√2. Tomonlar 5√2 cm va 5√2 cm (kvadrat), S = 50 cm².
5
Sexda t soatda ishlab chiqarilgan detallar soni Q(t) = −t³ + 9t² + 30t (0 ≤ t ≤ 8). Ish unumdorligi Q′(t) eng katta bo‘ladigan paytni va shu unumdorlikni toping.
Q′ = −3t² + 18t + 30, Q″ = −6t + 18 = 0 ⇒ t = 3 soat (Q″ «+» dan «−» ga o‘tadi). Q′(3) = −27 + 54 + 30 = 57 detal/soat.