☰ Mundarija · Matematika

Kombinatorika va Nyuton binomi

Darslar 28–29 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
29

Nyuton binomi

Darslik, 2-qism: 33–36-betlar
MaqsadGuruhlashlar sonini hisoblash va Nyuton binomi formulasi hamda binomial koeffitsiyentlar xossalaridan foydalanishni o‘rganish.
Yangi so‘zlar
guruhlash · combinationbinomial koeffitsiyent · binomial coefficientPaskal uchburchagi · Pascal’s triangleumumiy had · general term
Tushuntirish

n elementdan k tasini tartibini hisobga olmay tanlash usullari soni guruhlashlar soni deb ataladi: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!). U har bir qism to‘plam k! marta sanalganini hisobga olib, n(n − 1)…(n − k + 1) ni k! ga bo‘lishdan hosil bo‘ladi. Xossalari: C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n − k) (k tani tanlash — n − k tani tashlab ketish) va C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k); oxirgisi Paskal uchburchagini hosil qiladi: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1; 1 5 10 10 5 1. Nyuton binomi: (a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ; (k + 1)-had Tₖ₊₁ = C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. a = b = 1 da C(n, 0) + … + C(n, n) = 2ⁿ, a = 1, b = −1 da toq o‘rindagi yig‘indi juft o‘rindagi yig‘indiga teng.

Namunalar
12 nafar o‘quvchidan 2 kishilik navbatchilar jufti: C(12, 2) = 12 · 11/(1 · 2) = 66. Agar juftlikdan biri «katta navbatchi» etib belgilansa, 66 · 2 = 132 = A₁₂² — tartib hisobga olingan holga o‘tamiz. (x + 2)⁴ ni yoyamiz: koeffitsiyentlar C(4, k) · 2ᵏ: 1, 4 · 2 = 8, 6 · 4 = 24, 4 · 8 = 32, 16, ya’ni x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
(2x − 1)⁵ yoyilmasida x³ oldidagi koeffitsiyent: b = −1 bo‘lganda x³ hadi (2x)³ va (−1)² ni o‘z ichiga oladi, ya’ni k = 2: C(5, 2) · 2³ · (−1)² = 10 · 8 = 80. Qavariq oltiburchakning diagonallari soni 6 · 3/2 = 9 (n(n − 3)/2).
Sinfda faoliyat

«Paskal uchburchagi»: katakli qog‘ozga Paskal uchburchagining 8 ta qatorini yozing (har bir son — ustidagi ikki sonning yig‘indisi). Har bir qator yig‘indisi 2ⁿ ekanini tekshiring va (a + b)⁶ ning koeffitsiyentlarini o‘qing.

Mashq
1
C(7, 2) ni hisoblang.
2
(x + 3)⁵ yoyilmasida x² oldidagi koeffitsiyentni toping.
3
(1 + x)⁶ yoyilmasidagi barcha koeffitsiyentlar yig‘indisini toping.
4
Nima uchun C(n, k) = C(n, n − k)?