Darslar 18–19 · 2 ta dars · M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismailov, A. Q. Amanov (algebra va analiz asoslari), B. Q. Xaydarov (geometriya). Matematika 11-sinf, 1- va 2-qismlar, 1-nashr. «ZAMIN NASHR» MChJ, Toshkent, 2018
19
Bobni takrorlashga doir amaliy mashqlar (koordinatalar va vektorlar)
Darslik, 1-qism: 142–145-betlar
MaqsadKoordinatalar, vektorlar va almashtirishlar bo‘yicha bobni takrorlash: formulalarni qo‘llab test va hisoblash masalalarini yechish.
Yangi so‘zlar
masofa formulasi · distance formulakollinearlik sharti · condition of collinearityperpendikularlik sharti · condition of perpendicularitysimmetrik nuqta · symmetric point
Tushuntirish
Bobning asosiy formulalari: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²); kesma o‘rtasi — koordinatalar yarim yig‘indisi; AB vektor = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁); |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²); a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b| cos φ; a ⊥ b ⇔ a · b = 0; a ∥ b ⇔ koordinatalar proporsional; sfera: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Uchta nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotishini AB va AC vektorlarning kollinearligi bilan, to‘rtburchak parallelogramm ekanini AB = DC bilan yoki diagonallar o‘rtalarining ustma-ust tushishi bilan isbotlash mumkin. Test savollarida avval qaysi formula kerakligini aniqlang, so‘ng javob variantlarini taxmin bilan emas, hisob bilan tekshiring; masalan, perpendikularlikda skalar ko‘paytmani nolga tenglashtiring. Simmetriyalarda qaysi koordinata ishorasi o‘zgarishini jadval bo‘yicha eslang: tekislikka nisbatan — bitta, o‘qqa nisbatan — ikkita, nuqtaga nisbatan — uchta.
Namunalar
A(1; 1; 1), B(3; 2; 0), C(5; 3; −1) bir to‘g‘ri chiziqda: AB = (2; 1; −1), AC = (4; 2; −2) = 2AB, vektorlar kollinear. ABCD parallelogramm, A(0; 1; 2), B(3; 1; 0), C(5; 4; 1): D = A + BC = A + (C − B) = (0 + 2; 1 + 3; 2 + 1) = (2; 4; 3). Tekshiruv: AC va BD o‘rtalari: (2,5; 2,5; 1,5) — ikkalasida bir xil.
a(2; 0; 0) va b(1; 1; 0): cos φ = 2/(2 · √2) = 1/√2, φ = 45°. Sfera markazi (0; 0; 0), radiusi 3; (1; 2; 2) nuqta sferada yotadi: 1 + 4 + 4 = 9. Test: «z₂ − z₁ nimani bildiradi?» — AB vektor koordinatalaridan birini (applikatani).
Sinfda faoliyat
«Test-musobaqa»: sinf ikki jamoaga bo‘linadi. Har bir jamoa boshqasiga 5 ta test savol (4 variantli) tuzadi; savollar bobning turli mavzularidan bo‘lishi va javoblari tekshirilgan bo‘lishi shart. Jamoalar savollarga javob beradi va har bir xatoni tushuntiradi.
Mashq
1
A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) uchburchak qanday turdagi? Tomonlarni toping.
AB = √5, AC = √5, BC = √8 = 2√2: teng yonli (AB = AC).
2
ABCD parallelogrammda A(1; 0; 2), B(2; 3; 1), C(4; 5; 0) bo‘lsa, D ni toping.
D = A + C − B = (3; 2; 1)
3
a(1; 0; 1) va b(0; 1; 1) vektorlar orasidagi burchakni toping.
a · b = 1, |a| = |b| = √2, cos φ = 1/2, φ = 60°
4
Uch nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotishini vektorlar bilan qanday isbotlash mumkin? A(2; 0; 1), B(3; 2; 2), C(5; 6; 4) uchun ko‘rsating.
AB = (1; 2; 1) va AC = (3; 6; 3): AC = 3AB, ya’ni vektorlar kollinear va umumiy A nuqtaga ega, demak, A, B, C bir to‘g‘ri chiziqda.