Hosila tatbiqlari: masalalar yechish
Javoblar ota-onalar va o‘qituvchilar uchun.
1
f(x) = x³ − 6x² + 5 uchun o‘sish va kamayish oraliqlarini, ekstremumlarni va [−1; 5] kesmadagi eng katta hamda eng kichik qiymatlarni toping.
f′ = 3x(x − 4): o‘sadi (−∞; 0), (4; +∞); kamayadi (0; 4). Max f(0) = 5, min f(4) = −27. [−1; 5]: f(−1) = −2, f(5) = −20; eng katta 5, eng kichik −27.
2
Jism h(t) = 12t − 4t² (m) qonun bilan yuqoriga harakat qiladi. Tezlik, tezlanish, eng katta balandlik va uchish vaqtini toping.
v = 12 − 8t, a = −8 m/s². v = 0 ⇒ t = 1,5 s; h(1,5) = 18 − 9 = 9 m. h = 0 ⇒ t = 3 s.
3
y = x² − 4x + 5 va y = −x² + 2x + 1 grafiklarining urinmalari parallel bo‘ladigan nuqta abssissasini toping.
2x − 4 = −2x + 2 ⇒ x = 1,5.
4
y = ln(x² + 1) funksiyaning hosilasi ishorasidan foydalanib, o‘sish va kamayish oraliqlarini toping.
y′ = 2x/(x² + 1): (−∞; 0) da manfiy — kamayadi, (0; +∞) da musbat — o‘sadi; x = 0 da minimum y = 0.
5
Perimetri 40 m bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak maydon tomonlari qanday bo‘lganda uning diagonali eng kichik bo‘ladi? Diagonal kvadratini d²(x) = x² + (20 − x)² deb oling.
(d²)′ = 4x − 40 = 0 ⇒ x = 10: kvadrat 10 × 10; d² = 200, d = 10√2 ≈ 14,1 m.