Показательные неравенства и логарифм

Логарифм числа b > 0 по основанию a (a > 0, a ≠ 1) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: log_a b = c ⇔ aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3 и log₃(1/9) = −2. Основные свойства: a^(log_a b) = b; log_a 1 = 0; log_a a = 1; log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a xⁿ = n log_a x (x, y > 0). lg x — логарифм по основанию 10, а ln x — логарифм по основанию e ≈ 2,718. Функция y = log_a x имеет область определения (0; +∞), множество значений (−∞; +∞) и нуль x = 1; она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Простейшее уравнение log_a x = b имеет решение x = aᵇ; из log_a f = log_a g следует f = g, но необходимо проверить, что f > 0 и g > 0. В неравенстве знак сохраняется при a > 1 и меняется при 0 < a < 1, а выражение под логарифмом всегда должно быть положительным.