☰ Содержание · Геометрия

Свойство биссектрисы. Стороны и углы

Уроки 43–44 · 2 урока · Геометрия, 7 класс, исправленное и дополненное 3-е издание. «Янгийўл Полиграф Сервис», Ташкент, 2017 (одобрено Министерством народного образования)
44

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Учебник: с. 112–113
ЦельЗнай соотношение между сторонами и углами треугольника.
Новые слова
большая сторона · katta tomonпротиволежащий угол · qarshisidagi burchakобратная теорема · teskari teoremaвнешний угол · tashqi burchak
Объяснение

Теорема: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство: пусть AB > AC. Отложим на луче AB отрезок AD = AC; точка D лежит внутри AB. Треугольник △ACD равнобедренный, поэтому ∠ADC = ∠ACD. Кроме того, ∠ACB > ∠ACD, так как CD проходит внутри угла. А ∠ADC — внешний угол △CDB, поэтому ∠ADC > ∠B. Следовательно, ∠ACB > ∠B. Обратное: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны и наоборот. Эти факты используют для сравнения сторон или углов.

Примеры
В △ABC при AB = 7, BC = 5, AC = 9 наибольшая сторона — AC, поэтому наибольший угол — ∠B (против AC).
В △ABC при ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70° наибольший угол — ∠C, поэтому наибольшая сторона — AB; наименьшая сторона — BC (против ∠A).
Работа в классе

«Расставь стороны по порядку»: даны длины трёх палочек; ученики располагают углы треугольника от наибольшего к наименьшему.

Упражнения
1
В △ABC ∠A = 35°, ∠B = 95°, ∠C = 50°. Какая сторона самая длинная?
2
В △ABC AB = 8, BC = 6, AC = 10. Какой угол наименьший?
3
Если два угла треугольника равны, что можно сказать о противолежащих им сторонах?
4
Почему гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника?