Квадрат суммы. Квадрат разности
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² — это квадрат суммы: нужно сложить квадрат первого числа, удвоенное произведение первого и второго чисел и квадрат второго числа. (a - b)² = a² - 2ab + b² — это квадрат разности, у которой средний член отрицателен. Эти равенства называют формулами сокращённого умножения. Геометрически квадрат со стороной a + b состоит из двух квадратов со сторонами a и b и двух прямоугольников площадью ab. Формулы помогают и быстро возводить числа в квадрат: 52² = (50 + 2)² = 2704. Если применять их в обратную сторону, они раскладывают на множители выражения вроде x² + 10x + 25 = (x + 5)². Куб суммы и куб разности: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
«Строим квадрат»: на клетчатой бумаге рисуют квадрат со стороной a + b (например, 3 + 2 клетки) и разбивают его на четыре части. Ученики складывают площади частей и «видят» формулу a² + 2ab + b².