☰ Содержание · Геометрия

Вписанная и описанная окружности

Уроки 38–39 · 2 урока · А. А. Рахимкориев, М. А. Тухтахужаева. Геометрия, 8 класс (учебник для общеобразовательных средних школ), переработанное 3-е издание, соответствует интегрированной программе. «Янгийўл Полиграф Сервис», Ташкент, 2014
38

Вписанная окружность

Учебник: с. 118–120
ЦельЗнай свойства вписанной окружности и описанного многоугольника.
Новые слова
вписанная окружность · ichki chizilgan aylanaописанный многоугольник · tashqi chizilgan ko‘pburchakбиссектриса угла · bissektrisaпротивоположные стороны · qarama-qarshi tomonlar
Объяснение

Если каждая сторона многоугольника касается окружности, то многоугольник описан около окружности, а окружность вписана в многоугольник. Центр вписанной окружности одинаково удалён от всех сторон. У каждого треугольника есть ровно одна вписанная окружность; её центр — точка пересечения биссектрис углов, так как точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC. В доказательстве используется равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки: сложим AE = AQ, BE = BF, CP = CF, DP = DQ. Верно и обратное: в выпуклый четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, можно вписать окружность.

Примеры
Расстояния от вершин до точек касания равны 3, 4, 7. Стороны равны 3 + 4 = 7, 4 + 7 = 11, 3 + 7 = 10; периметр равен 28.
В описанном четырёхугольнике ABCD AB = 9, BC = 7, CD = 12: AD = 9 + 12 − 7 = 14.
Работа в классе

«Где встречаются биссектрисы»: нарисуй треугольник, проведи транспортиром две биссектрисы углов и измерь расстояния от точки их пересечения до сторон, чтобы убедиться, что они равны.

Упражнения
1
Расстояния от вершин треугольника до точек касания равны 2, 5 и 6. Чему равен периметр?
2
В описанном четырёхугольнике AB = 8, CD = 11, BC = 9. Чему равна AD?
3
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 6 и 10. Чему равна её средняя линия?
4
Почему центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника?