Свойства хорды и диаметра

Теорема: диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам хорду и стягиваемую ею дугу. Доказательство: так как OA = OB = R, треугольник AOB равнобедренный, а перпендикуляр OP, проведённый из центра к хорде, является его высотой, медианой и биссектрисой. Значит, AP = PB и ∠AOP = ∠BOP, поэтому и дуги равны. Вторая теорема: ни одна хорда не длиннее диаметра, потому что в прямоугольном треугольнике OPB катет PB короче гипотенузы OB, так что 2PB ≤ 2OB. Следствия: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей; серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр. Если радиус равен R, а расстояние от центра до хорды равно d, то (половина хорды)² = R² − d².