☰ Содержание · Геометрия

Формула Герона и решение задач

Уроки 32–33 · 2 урока · А. А. Рахимкориев, М. А. Тухтахужаева. Геометрия, 8 класс (учебник для общеобразовательных средних школ), переработанное 3-е издание, соответствует интегрированной программе. «Янгийўл Полиграф Сервис», Ташкент, 2014
32

Формула Герона для площади треугольника

Учебник: с. 103
ЦельЗнай формулу Герона для площади треугольника и применяй её для нахождения площади по сторонам.
Новые слова
формула Герона · Geron formulasiполупериметр · yarim perimetrплощадь треугольника · uchburchak yuziквадратный корень · ildiz
Объяснение

Мы знаем, что площадь S = ½ · a · h_a. Подставив выражение высоты через стороны, получаем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c) : 2 — полупериметр. Это называется формулой Герона; её приписывают Герону Александрийскому, жившему в I веке н. э. Формула удобна, когда известны все три стороны, а высота не дана. Для вычисления сначала найди p, затем p − a, p − b, p − c, перемножь их и извлеки квадратный корень.

Примеры
Стороны 25, 25, 14: p = 32 и 32 · 7 · 7 · 18 = 28 224 = 168², поэтому площадь равна 168.
Стороны 7, 15, 20: p = 21 и 21 · 14 · 6 · 1 = 1764 = 42², поэтому площадь равна 42.
Работа в классе

«Два пути к площади»: найди площадь треугольника с катетами 6 и 8 сначала по катетам, затем по формуле Герона и сравни.

Упражнения
1
Чему равна площадь треугольника со сторонами 5, 29, 30?
2
Чему равна площадь треугольника со сторонами 9, 10, 17?
3
Треугольник 20, 21, 29 прямоугольный (20² + 21² = 29²). Найди его площадь по катетам.
4
Чем удобна формула Герона?