7
Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
Учебник, с. 21–25
ЦельНаходи наибольший общий делитель (НОД); пойми, что такое взаимно простые числа.
Новые слова
общий делитель · umumiy bo‘luvchiнаибольший общий делитель (НОД) · EKUBвзаимно простые числа · o‘zaro tub sonlarпростые множители · tub ko‘paytuvchilar
Объяснение
Число, на которое делятся без остатка оба данных числа, называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем (НОД). Чтобы найти его, разложи числа на простые множители, возьми простые множители, которые есть в обоих разложениях, с наименьшими показателями и перемножь их. Например, 24 = 2³ · 3 и 36 = 2² · 3², значит, общая часть 2² · 3 = 12. Если НОД двух чисел равен 1, то они взаимно простые; сами числа при этом необязательно простые, например 14 и 25.
Примеры
НОД(48, 60): 48 = 2⁴ · 3, 60 = 2² · 3 · 5. Общая часть 2² · 3 = 12.
18 и 35: 18 = 2 · 3², 35 = 5 · 7. Общих простых множителей нет, НОД = 1, значит, они взаимно простые.
Работа в классе
«Самые большие коробки»: группы получают 36 красных и 48 синих карандашей (карточки или счётные палочки). Нужно разложить их на одинаковые наборы: какое наибольшее число наборов можно получить? Группы проверяют ответ с помощью НОД.
Упражнения
1
Найди НОД(48, 60).
12
2
Числа 14 и 25 взаимно простые?
Да, НОД(14, 25) = 1, хотя оба числа составные.
3
36 красных и 48 синих карандашей разложили в одинаковые наборы, использовав все карандаши. Какое наибольшее число наборов получится?
12
4
Почему НОД(7, 21) = 7?
21 делится на 7, поэтому меньшее число делит большее и само является НОД.