☰ Reja · Matematika

Kombinatorika, Nyuton binomi va statistika

34-hafta · blok 3.2 · 3 dars
3

Nyuton binomi va statistika

maktab darsligi: algebra 7-sinf (kombinatorika), matematika 11-sinf (ma’lumotlar tahlili)
Maqsad: Binom koeffitsiyentlarini topish va statistik ko‘rsatkichlarni hisoblash.
Qoida va g‘oya

Nyuton binomi: (a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n. (k + 1)-had: C(n,k) a^(n-k) b^k. Koeffitsiyentlar yig‘indisi (a = b = 1 da) 2^n; (px + q)^n da x = 1 qo‘yib koeffitsiyentlar yig‘indisini toping. Statistika: o‘rta qiymat — yig‘indi/soni; moda — eng ko‘p uchraydigan qiymat; mediana — tartiblangan qatorning o‘rtasi (juft sonda ikki o‘rtadagining o‘rtachasi); o‘lcham (diapazon) = eng katta - eng kichik. Dispersiya — chetlanishlar kvadratlarining o‘rta qiymati; standart chetlanish = sqrt(dispersiya).

Namunaviy masalalar
(x + 2)^4 ni yoying.
Yechim: C(4,k) koeffitsiyentlari 1, 4, 6, 4, 1: x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.
Javob: x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
(x + 2)^5 yoyilmasida x^3 oldidagi koeffitsiyentni toping.
Yechim: C(5, 2) · 2^2 = 10 · 4 = 40.
Javob: 40
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ma’lumotlarning o‘rta qiymati, dispersiyasi va standart chetlanishini toping.
Yechim: O‘rta 40/8 = 5. Chetlanish kvadratlari 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16: yig‘indi 32, dispersiya 4. Standart chetlanish 2.
Javob: 5; 4; 2
Tipik xatolar
  • Binomda b ning darajasi bilan C(n, k) ni tartibini aralashtirish.
  • Medianani tartiblamasdan olish.
  • Dispersiyada o‘rta qiymatdan chetlanishni kvadratga ko‘tarmay qo‘shish (yig‘indi nolga teng bo‘lib qoladi).
Mashq
1
3, 3, 5, 7, 9, 12 qatorning medianasini toping.
2
5 ta sonning o‘rtachasi 8. Yana bir son qo‘shilganda o‘rtacha 9 bo‘lishi uchun qo‘shiladigan sonni toping.
3
3, 5, 7, 9 sonlarning dispersiyasini toping.
4
(1 + 3x)^5 yoyilmasida x^2 oldidagi koeffitsiyentni toping.