☰ Reja · Matematika

Uchburchak: Fales, Pifagor, o‘xshashlik, sinuslar va kosinuslar

27-hafta · blok 2.2 · 3 dars
1

Fales, o‘xshashlik, bissektrisa va median; formulalar

maktab darsligi: geometriya 8–9-sinf, uchburchaklar
Maqsad: Kesmalar nisbatini va o‘xshashlik koeffitsiyentini topish.
Qoida va g‘oya

Formulalar. Fales: DE ∥ BC bo‘lsa, AD/AB = AE/AC = DE/BC. O‘xshash uchburchaklarda tomonlar, balandliklar, perimetrlar k marta, yuzlar k^2 marta farq qiladi. Bissektrisa xossasi: A burchak bissektrisasi BC ni BD/DC = AB/AC nisbatda bo‘ladi. Medianalar bir nuqtada kesishib, uchdan boshlab hisoblaganda 2 : 1 nisbatda bo‘linadi. O‘rta chiziq asosga parallel va uning yarmiga teng. Pifagor: a^2 + b^2 = c^2. Balandlik to‘g‘ri burchak uchidan gipotenuzaga: h = ab/c. Yuz: S = ah/2 = ab sin C/2 = pr; Geron: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Sinuslar: a/sin A = 2R. Kosinuslar: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.

Namunaviy masalalar
ABC uchburchakda DE ∥ BC, D — AB da, E — AC da. AD = 4, DB = 6, DE = 5. BC ni toping.
Yechim: AD/AB = DE/BC, 4/10 = 5/BC, BC = 12,5.
Javob: 12,5
O‘xshash ikki uchburchak tomonlari nisbati 2 : 5. Kichigining yuzi 24 bo‘lsa, kattasining yuzini toping.
Yechim: Yuzlar nisbati 4 : 25. S = 24 · 25/4 = 150.
Javob: 150
ABC da AB = 12, AC = 18, BC = 15. A burchak bissektrisasi BC ni D nuqtada kesadi. BD va DC ni toping.
Yechim: BD/DC = 12/18 = 2/3. BD = 15 · 2/5 = 6, DC = 9.
Javob: BD = 6, DC = 9
Tipik xatolar
  • Fales nisbatida kesmani butun tomon bilan emas, qismi bilan solishtirish (AD/DB va AD/AB ni aralashtirish).
  • Yuzlar nisbatini o‘xshashlik koeffitsiyentining o‘ziga teng deb olish (k o‘rniga k^2).
  • Bissektrisa kesmalarini BD = DC deb olish.
Mashq
1
DE ∥ BC, AD = 3, AB = 9, S(ADE) = 10. S(ABC) ni toping.
2
Mediananing uzunligi 18. Uchdan og‘irlik markazigacha masofani toping.
3
ABC da AB = 6, AC = 10, BC = 12. A bissektrisasi BC ni kesganda BD ni toping.
4
Uchburchak tomonlari 10, 14, 16. O‘rta chiziqlaridan hosil bo‘lgan uchburchak perimetrini toping.