1
Darajali funksiyalar: x^2, x^3, sqrt(x), 1/x
maktab darsligi: matematika 10–11-sinf, darajali funksiya
Maqsad: Darajali funksiyalarning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi, juft-toqligi va o‘sish-kamayishini eslab qolish.
Qoida va g‘oya
y = x^n funksiyada n juft bo‘lsa (x^2, x^4, x^6), funksiya juft, qiymatlari y ≥ 0, x ≥ 0 da o‘suvchi, x ≤ 0 da kamayuvchi; grafigi y o‘qiga nisbatan simmetrik, uchi koordinata boshida. n toq bo‘lsa (x^3, x^5), funksiya toq, butun sonlar o‘qida o‘suvchi, qiymatlar sohasi barcha sonlar. y = sqrt(x) faqat x ≥ 0 da aniqlangan, qiymatlari y ≥ 0, o‘suvchi. y = 1/x da x ≠ 0 va y ≠ 0, funksiya toq, har bir oraliqda (x < 0 va x > 0) kamayuvchi: grafigi ikki tarmoqdan iborat. Juft darajada manfiy asosning ishorasi yo‘qoladi.
Namunaviy masalalar
y = x^3 funksiyaning x = -2 dagi qiymatini toping va u o‘suvchi yoki kamayuvchiligini ayting.
Yechim: (-2)^3 = -8. Toq darajali funksiya butun sonlar o‘qida o‘suvchi.
Javob: -8; o‘suvchi
Yechim: (-2)^3 = -8. Toq darajali funksiya butun sonlar o‘qida o‘suvchi.
Javob: -8; o‘suvchi
y = x^4 funksiyaning qiymatlar sohasini va x^4 = 16 tenglamaning yechimini toping.
Yechim: x^4 ≥ 0, qiymatlar [0; +∞). x^4 = 16 dan x = 2 yoki x = -2.
Javob: [0; +∞); x = ±2
Yechim: x^4 ≥ 0, qiymatlar [0; +∞). x^4 = 16 dan x = 2 yoki x = -2.
Javob: [0; +∞); x = ±2
y = 1/x funksiyaning x = -4 dagi qiymatini toping.
Yechim: 1/(-4) = -0,25. x < 0 da grafik x o‘qidan pastda joylashadi.
Javob: -0,25
Yechim: 1/(-4) = -0,25. x < 0 da grafik x o‘qidan pastda joylashadi.
Javob: -0,25
Tipik xatolar
- Juft darajada (-3)^4 ni manfiy deb olish: (-3)^4 = 81.
- y = 1/x ni butun aniqlanish sohasida kamayuvchi deb hisoblash: u ikki oraliqda alohida kamayadi.
- sqrt(x) ni manfiy x uchun hisoblash: aniqlanish sohasi x ≥ 0.
Mashq
1
y = x^6 funksiyaning x = -1 dagi qiymatini toping.
1
2
(-3)^4 va 2^4 sonlarini taqqoslang.
(-3)^4 = 81 > 16 = 2^4
3
y = sqrt(x) funksiyaning x = 49 dagi qiymatini toping.
7
4
y = 1/x^2 funksiyaning x = -0,5 dagi qiymatini toping.
4