1
Ko‘rsatkichli funksiya va uning xossalari
maktab darsligi: matematika 10-sinf, ko‘rsatkichli funksiya
Maqsad: y = a^x funksiyaning grafigi, o‘sish-kamayishi va qiymatlar sohasini bilish; darajalarni taqqoslash.
Qoida va g‘oya
Ko‘rsatkichli funksiya y = a^x, bunda a > 0 va a ≠ 1. Aniqlanish sohasi — barcha sonlar, qiymatlar sohasi — faqat musbat sonlar (0; +∞): a^x hech qachon nolga teng yoki manfiy bo‘lmaydi. Grafik doim (0; 1) nuqtadan o‘tadi, chunki a^0 = 1, va x o‘qidan yuqorida joylashadi (x o‘qi — gorizontal asimptota). a > 1 bo‘lsa funksiya o‘suvchi: x kattalashsa a^x ham kattalashadi. 0 < a < 1 bo‘lsa, kamayuvchi. Darajalarni solishtirish: asoslar bir xil bo‘lsa, a > 1 da ko‘rsatkichi katta daraja katta; 0 < a < 1 da teskarisi. y = a^x + c grafigi y = a^x ni c ga yuqoriga siljitadi, qiymatlar sohasi (c; +∞).
Namunaviy masalalar
y = 2^x grafigi qaysi nuqtalardan o‘tadi: (3; ?) va (-1; ?).
Yechim: 2^3 = 8, 2^(-1) = 1/2. Nuqtalar (3; 8) va (-1; 1/2).
Javob: (3; 8), (-1; 1/2)
Yechim: 2^3 = 8, 2^(-1) = 1/2. Nuqtalar (3; 8) va (-1; 1/2).
Javob: (3; 8), (-1; 1/2)
y = (1/3)^x o‘suvchimi yoki kamayuvchimi?
Yechim: Asos 1/3 < 1, shuning uchun funksiya kamayuvchi.
Javob: kamayuvchi
Yechim: Asos 1/3 < 1, shuning uchun funksiya kamayuvchi.
Javob: kamayuvchi
y = 2^x + 1 funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
Yechim: 2^x > 0, shuning uchun y > 1.
Javob: (1; +∞)
Yechim: 2^x > 0, shuning uchun y > 1.
Javob: (1; +∞)
Tipik xatolar
- a^x ning qiymatini manfiy yoki nol deb hisoblash: u doim musbat.
- 0 < a < 1 bo‘lganda ham funksiyani o‘suvchi deb olish.
- Darajalarni solishtirishda asos 1 dan kichik bo‘lganda tengsizlik ishorasini saqlab qo‘yish.
Mashq
1
y = 5^x ning x = -2 dagi qiymatini toping.
1/25
2
y = 3^x - 4 funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
(-4; +∞)
3
y = 7^x grafigi y o‘qini qaysi nuqtada kesadi?
(0; 1)
4
(1/2)^(-3) va (1/2)^2 sonlarini taqqoslang.
(1/2)^(-3) = 8 > 1/4