1
Monotonlik va ekstremum nuqtalari
maktab darsligi: matematika 11-sinf, hosilaning tatbiqlari; funksiyaning o‘sishi va kamayishi
Maqsad: Hosila ishorasi bo‘yicha o‘sish-kamayish oraliqlari va ekstremum nuqtalarini topish.
Qoida va g‘oya
Agar biror oraliqda f'(x) > 0 bo‘lsa, funksiya shu oraliqda o‘suvchi; f'(x) < 0 bo‘lsa, kamayuvchi. Kritik nuqtalar — f'(x) = 0 bo‘ladigan (yoki hosila mavjud bo‘lmaydigan) nuqtalar. Ekstremum faqat kritik nuqtada bo‘lishi mumkin: x0 dan o‘tganda f' ishorasi + dan - ga o‘zgarsa, x0 — maksimum nuqtasi; - dan + ga o‘zgarsa, minimum nuqtasi; ishora o‘zgarmasa (masalan, juft karrali ildizda), ekstremum yo‘q. Algoritm: 1) f'(x) ni toping; 2) f'(x) = 0 ni yeching; 3) kritik nuqtalar sonlar o‘qini oraliqlarga bo‘ladi, har birida ishorani aniqlang; 4) xulosa chiqaring. Ekstremum nuqtasi (x0) bilan ekstremum qiymati (f(x0)) ni adashtirmang.
Namunaviy masalalar
f(x) = x^3 - 3x ning o‘sish va kamayish oraliqlarini va ekstremum nuqtalarini toping.
Yechim: f' = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Kritik nuqtalar -1 va 1. f' > 0: x < -1 va x > 1; f' < 0: -1 < x < 1. Maksimum x = -1 (f = 2), minimum x = 1 (f = -2).
Javob: o‘sadi (-∞; -1], [1; +∞); kamayadi [-1; 1]; max x = -1, min x = 1
Yechim: f' = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Kritik nuqtalar -1 va 1. f' > 0: x < -1 va x > 1; f' < 0: -1 < x < 1. Maksimum x = -1 (f = 2), minimum x = 1 (f = -2).
Javob: o‘sadi (-∞; -1], [1; +∞); kamayadi [-1; 1]; max x = -1, min x = 1
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x ning ekstremum nuqtalarini toping.
Yechim: f' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2). x = 1 da + dan - ga: maksimum (f = 5); x = 2 da - dan +: minimum (f = 4).
Javob: max x = 1, min x = 2
Yechim: f' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2). x = 1 da + dan - ga: maksimum (f = 5); x = 2 da - dan +: minimum (f = 4).
Javob: max x = 1, min x = 2
f(x) = x e^(-x) ning maksimum nuqtasini toping.
Yechim: f' = e^(-x) - x e^(-x) = e^(-x)(1 - x). x < 1 da f' > 0, x > 1 da f' < 0. Maksimum x = 1.
Javob: x = 1
Yechim: f' = e^(-x) - x e^(-x) = e^(-x)(1 - x). x < 1 da f' > 0, x > 1 da f' < 0. Maksimum x = 1.
Javob: x = 1
Tipik xatolar
- f'(x) = 0 ni ekstremum borligining kafolati deb hisoblash: (x - 1)^2 ko‘paytuvchi ishorani o‘zgartirmaydi.
- Maksimum nuqtasi bilan maksimum qiymatini aralashtirish.
- Oraliqlarda ishorani tekshirmasdan faqat kritik nuqtalarni yozish.
Mashq
1
f(x) = x^3 - 12x ning minimum nuqtasini toping.
2
2
f(x) = -x^2 + 4x + 1 ning maksimum nuqtasini toping.
2
3
f(x) = x^4 - 4x ning minimum nuqtasini toping.
1
4
f(x) = x + 4/x (x > 0) funksiyaning minimum qiymatini toping.
4