☰ Reja · Matematika

Koordinatalar va vektorlar; geometrik almashtirishlar

31-hafta · blok 2.4 · 3 dars
1

Koordinatalar tekisligi: o‘rta nuqta va masofa

maktab darsligi: geometriya 8-sinf (vektorlar), matematika 11-sinf (koordinatalar va vektorlar)
Maqsad: Kesma o‘rtasi va ikki nuqta orasidagi masofani formulalar bilan topish.
Qoida va g‘oya

Formulalar. A(x1; y1) va B(x2; y2) nuqtalar: kesma o‘rtasi M((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2); masofa AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). Fazoda z koordinata ham qo‘shiladi. Vektor AB koordinatalari (x2 - x1; y2 - y1). Vektor uzunligi |a| = sqrt(ax^2 + ay^2). Qo‘shish va ayirish koordinatalar bo‘yicha: a + b = (ax + bx; ay + by); k · a = (k ax; k ay). Skalyar ko‘paytma a · b = ax bx + ay by = |a||b| cos φ. Kollinear: ax/bx = ay/by; perpendikular: a · b = 0. Almashtirishlar: Ox ga nisbatan simmetriya (x; y) → (x; -y), Oy ga nisbatan (-x; y), koordinata boshiga nisbatan (-x; -y); parallel ko‘chirish (x + p; y + q); koordinata boshi atrofida 90° soat mili qarshisiga burish (x; y) → (-y; x).

Namunaviy masalalar
A(1; -2) va B(7; 6). Kesma o‘rtasi va AB uzunligini toping.
Yechim: M((1 + 7)/2; (-2 + 6)/2) = (4; 2). AB = sqrt(36 + 64) = 10.
Javob: M(4; 2), AB = 10
ABCD parallelogramm, A(1; 1), B(4; 2), C(7; 6). D uchini toping.
Yechim: Diagonallar o‘rtasi umumiy: D = A + C - B = (1 + 7 - 4; 1 + 6 - 2) = (4; 5).
Javob: D(4; 5)
Uchlari (0; 0), (6; 0), (0; 8) bo‘lgan uchburchak perimetrini toping.
Yechim: Tomonlar 6, 8 va sqrt(36 + 64) = 10. Perimetr 24.
Javob: 24
Tipik xatolar
  • Kesma o‘rtasida ayirma o‘rniga yig‘indini 2 ga bo‘lishni unutish.
  • Masofa formulasida kvadrat ildizni olmay qoldirish.
  • Parallelogrammda D = B + C - A deb xato tenglash.
Mashq
1
AB kesma o‘rtasi M(2; -1), A(-3; 4). B ni toping.
2
(-2; 3) va (4; -5) nuqtalar orasidagi masofani toping.
3
A(2; 3) va B(14; 8) nuqtalar orasidagi masofani toping.
4
Uchlari A(1; 2), B(5; 2), C(5; 5) bo‘lgan uchburchakning yuzini toping.