☰ Reja · Matematika

Kompleks sonlar

33-hafta · blok 1.2 · 3 dars
3

Kvadrat tenglama va kompleks tekislik

maktab darsligi: matematika 10-sinf, kompleks sonlar
Maqsad: D < 0 bo‘lganda kvadrat tenglama ildizlarini topish va sonlarni tekislikda tasvirlash.
Qoida va g‘oya

Haqiqiy koeffitsiyentli ax^2 + bx + c = 0 da D < 0 bo‘lsa, ikki qo‘shma kompleks ildiz bor: x = (-b ± i sqrt(-D))/(2a). Masalan, x^2 + 9 = 0 dan x = ±3i. Viyet teoremasi saqlanadi: x1 + x2 = -b/a, x1 x2 = c/a. Qo‘shma ildizlar ko‘paytmasi |x|^2 ga teng. Kompleks tekislikda z = a + bi nuqta (a; b) bilan tasvirlanadi: a > 0, b > 0 — I chorak, a < 0, b > 0 — II chorak. Berilgan ildizdan tenglamani tuzishda boshqa ildiz — uning qo‘shmasi.

Namunaviy masalalar
x^2 - 4x + 13 = 0 ni yeching.
Yechim: D = 16 - 52 = -36. x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.
Javob: 2 + 3i va 2 - 3i
1 + 2i ildizi bo‘lgan haqiqiy koeffitsiyentli x^2 + px + q = 0 da p va q ni toping.
Yechim: Ikkinchi ildiz 1 - 2i. Yig‘indi 2 = -p, p = -2. Ko‘paytma 1 + 4 = 5 = q.
Javob: p = -2, q = 5
z1 = 1 + i va z2 = 4 + 5i nuqtalar orasidagi masofani toping.
Yechim: |z2 - z1| = |3 + 4i| = 5.
Javob: 5
Tipik xatolar
  • D < 0 bo‘lganda tenglamani ildizsiz deb qoldirib ketish (kompleks sonlarda ildiz bor).
  • Ildizlarni 2 ± 3 deb i ni yozmaslik.
  • Qo‘shma ildizni faqat bittasini yozib, ikkinchisini unutish.
Mashq
1
x^2 + 2x + 5 = 0 ni yeching.
2
x^2 - 6x + 25 = 0 ni yeching.
3
x^2 - 2x + 10 = 0 ildizining modulini toping.
4
z = -3 + 4i nuqta kompleks tekislikning qaysi choragida va koordinata boshidan qancha masofada?