2
Vektorlar ustida amallar va skalyar ko‘paytma
maktab darsligi: geometriya 8-sinf (vektorlar), matematika 11-sinf (koordinatalar va vektorlar)
Maqsad: Vektorlarni qo‘shish, skalyar ko‘paytma, perpendikularlik va kollinearlik.
Qoida va g‘oya
Vektor a(ax; ay) koordinatalari bilan beriladi. Yig‘indi, ayirma va songa ko‘paytma koordinatalar bo‘yicha bajariladi. Skalyar ko‘paytma — son: a · b = ax bx + ay by. Vektorlar orasidagi burchak: cos φ = (a · b)/(|a||b|). a · b = 0 bo‘lsa, vektorlar perpendikular (90°); a · b > 0 bo‘lsa burchak o‘tkir, a · b < 0 bo‘lsa o‘tmas. Kollinear vektorlarning mos koordinatalari proporsional: ax/bx = ay/by (yoki ax by - ay bx = 0). Parametr berilsa, shartni tenglama ko‘rinishida yozing.
Namunaviy masalalar
a(3; -4), b(-1; 2). a + b, 2a - b va |a| ni toping.
Yechim: a + b = (2; -2). 2a - b = (6 + 1; -8 - 2) = (7; -10). |a| = sqrt(9 + 16) = 5.
Javob: (2; -2), (7; -10), 5
Yechim: a + b = (2; -2). 2a - b = (6 + 1; -8 - 2) = (7; -10). |a| = sqrt(9 + 16) = 5.
Javob: (2; -2), (7; -10), 5
a(3; 4) va b(4; 3) vektorlar orasidagi burchak kosinusini toping.
Yechim: a · b = 12 + 12 = 24, |a||b| = 25. cos φ = 24/25.
Javob: 24/25
Yechim: a · b = 12 + 12 = 24, |a||b| = 25. cos φ = 24/25.
Javob: 24/25
a(2; k) va b(6; 9) kollinear bo‘lsa, k ni toping.
Yechim: 2/6 = k/9, k = 3.
Javob: 3
Yechim: 2/6 = k/9, k = 3.
Javob: 3
Tipik xatolar
- Skalyar ko‘paytmani vektor deb koordinatalar bilan yozish.
- Kollinearlik shartida mos koordinatalarni o‘zaro (x ni y ga) bo‘lib qo‘yish.
- Perpendikular uchun a · b = 1 deb olish (to‘g‘risi 0).
Mashq
1
a(k; 3) va b(6; -2) perpendikular bo‘lsa, k ni toping.
1
2
a(2; -3), b(4; 1) bo‘lsa, a · b ni toping.
5
3
a(1; 1) va b(-1; 1) vektorlar orasidagi burchakni toping.
90°
4
|a| = 3, |b| = 4, ular orasidagi burchak 60°. a · b ni toping.
6