☰ Reja · Matematika

Stereometriya: fazoda chiziq va tekisliklar, ko‘pyoqlar

29-hafta · blok 2.3 · 3 dars
3

Piramida va kesik piramida

maktab darsligi: matematika 10–11-sinf, stereometriya
Maqsad: Piramida hajmi va yon sirtini, kesik piramida hajmini topish.
Qoida va g‘oya

Piramida hajmi V = Sasos · H/3. Muntazam piramidada yon qirralar teng, balandlik asos markaziga tushadi, yon yoqlar teng yonli uchburchaklar. Yon sirt = asos perimetri · apofema/2 (apofema — yon yoq balandligi). Muntazam to‘rtburchakli piramidada H, asos tomonining yarmi va apofema to‘g‘ri burchakli uchburchak tashkil qiladi. Asosga parallel kesim kichik piramida hosil qiladi, uning o‘xshashlik koeffitsiyenti k bo‘lsa, hajm k^3 marta, yuz k^2 marta farq qiladi. Kesik piramida V = H(S1 + S2 + sqrt(S1 S2))/3.

Namunaviy masalalar
Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 6, balandligi 4. Apofema, yon sirt va hajmini toping.
Yechim: Apofema = sqrt(9 + 16) = 5. Yon sirt = 4 · 6 · 5/2 = 60. V = 36 · 4/3 = 48.
Javob: apofema 5, yon sirt 60, V = 48
Asosi yuzi 18, balandligi 5 bo‘lgan piramidaning hajmini toping.
Yechim: V = 18 · 5/3 = 30.
Javob: 30
Kesik piramida asoslari yuzlari 9 va 25, balandligi 3. Hajmini toping.
Yechim: sqrt(9 · 25) = 15. V = 3(9 + 25 + 15)/3 = 49.
Javob: 49
Tipik xatolar
  • Piramida hajmida 3 ga bo‘lishni unutish.
  • Yon sirtda apofema o‘rniga yon qirrani olish.
  • Kesik piramida formulasida sqrt(S1 S2) ni S1 + S2 bilan almashtirish.
Mashq
1
Asosi 5 va 8 tomonli to‘g‘ri to‘rtburchak, balandligi 6 bo‘lgan piramida hajmini toping.
2
Muntazam to‘rtburchakli piramidaning apofemasi 10, asos tomoni 12. Balandligi va to‘la sirtini toping.
3
Asos kvadratlari tomonlari 4 va 10, balandligi 3 bo‘lgan kesik piramida hajmini toping.
4
Piramidani balandligining o‘rtasidan asosga parallel tekislik bilan kestik. Kesilgan kichik piramida hajmi 8 bo‘lsa, butun piramida hajmini toping.