☰ Reja · Matematika

Hosilaning tatbiqlari

23-hafta · blok 1.13 · 3 dars
2

Kesmada eng katta va eng kichik qiymat

maktab darsligi: matematika 11-sinf, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati
Maqsad: Hosila yordamida kesmada eng katta va eng kichik qiymatni topish.
Qoida va g‘oya

Uzluksiz funksiya [a; b] kesmada o‘zining eng katta va eng kichik qiymatiga erishadi, bu qiymatlar kritik nuqtalarda yoki kesma chetlarida bo‘ladi. Algoritm: 1) f'(x) = 0 ni yeching; 2) kritik nuqtalardan faqat [a; b] ga tegishlilarini qoldiring; 3) f ni shu nuqtalarda va a, b da hisoblang; 4) eng kattasi va eng kichigini tanlang. Bu usulda ishora jadvali shart emas: qiymatlarni solishtirish yetarli. Kesmaning ichida kritik nuqta bo‘lmasa, funksiya monoton va qiymatlar faqat chetlarda. Javobda aynan so‘ralgan narsani yozing: qiymatni yoki nuqtani.

Namunaviy masalalar
f(x) = x^3 - 3x + 1 ning [0; 2] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.
Yechim: f' = 3x^2 - 3 = 0, x = 1 (kesmada). f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 3. Eng katta 3, eng kichik -1.
Javob: max 3, min -1
f(x) = x + 9/x ning [1; 6] kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatini toping.
Yechim: f' = 1 - 9/x^2 = 0, x = 3. f(1) = 10, f(3) = 6, f(6) = 7,5. Eng kichik 6, eng katta 10.
Javob: min 6, max 10
f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x ning [1; 5] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.
Yechim: f' = 6(x - 2)(x - 3). f(1) = 23, f(2) = 28, f(3) = 27, f(5) = 250 - 375 + 180 = 55. Eng katta 55, eng kichik 23.
Javob: max 55, min 23
Tipik xatolar
  • Kesmadan tashqaridagi kritik nuqtani ham hisoblash.
  • Faqat kritik nuqtalarni hisoblab, kesma chetlarini tekshirmaslik.
  • Funksiya qiymati o‘rniga nuqtaning o‘zini yozish.
Mashq
1
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ning [0; 2] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
2
f(x) = x^4 - 2x^2 ning [-2; 2] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
3
f(x) = x + 1/x ning [1/2; 2] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
4
f(x) = x^2 - 4x ning [-1; 3] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.