3
Logarifmik tenglama, sistema va tengsizliklar
maktab darsligi: matematika 10-sinf, logarifmik tenglama va tengsizliklar
Maqsad: Logarifmik tenglamani yechib, begona ildizlarni aniqlanish sohasi bo‘yicha tashlash; tengsizlikda asosga qarab ishora tanlash.
Qoida va g‘oya
Eng sodda tenglama: log_a f = c dan f = a^c; log_a f = log_a g dan f = g. f = g tenglamani yechgach, f > 0 va g > 0 shartini tekshiring: begona ildizlar shu orqali tashlanadi. Bir nechta logarifm bo‘lsa, avval xossalar bilan bittaga yig‘ing. Murakkab hollarda t = log_a x almashtiring. Tengsizlik: a > 1 da log_a f < log_a g dan 0 < f < g (ishora saqlanadi); 0 < a < 1 da log_a f < log_a g dan f > g > 0 (ishora o‘zgaradi). Har doim aniqlanish sohasini (logarifm ostidagi ifoda > 0) ham yozing va yechimni u bilan kesishtiring. Sistemada logarifm yig‘indisini ko‘paytma logarifmiga aylantirib, algebraik sistemaga keltiring.
Namunaviy masalalar
log_2 (x - 1) = 3 ni yeching.
Yechim: x - 1 = 2^3 = 8, x = 9. Tekshiruv: x - 1 = 8 > 0.
Javob: 9
Yechim: x - 1 = 2^3 = 8, x = 9. Tekshiruv: x - 1 = 8 > 0.
Javob: 9
log_3 x + log_3 (x - 2) = 1 ni yeching.
Yechim: log_3 (x(x - 2)) = 1, x^2 - 2x = 3, x = 3 yoki x = -1. x = -1 da logarifm ostida manfiy son, tashlanadi.
Javob: 3
Yechim: log_3 (x(x - 2)) = 1, x^2 - 2x = 3, x = 3 yoki x = -1. x = -1 da logarifm ostida manfiy son, tashlanadi.
Javob: 3
log_2 (x - 1) < 3 tengsizlikni yeching.
Yechim: Aniqlanish: x > 1. Asos 2 > 1: x - 1 < 8, x < 9. Javob: 1 < x < 9.
Javob: (1; 9)
Yechim: Aniqlanish: x > 1. Asos 2 > 1: x - 1 < 8, x < 9. Javob: 1 < x < 9.
Javob: (1; 9)
Tipik xatolar
- Begona ildizni aniqlanish sohasini tekshirmay javobga qoldirish.
- 0 < a < 1 bo‘lganda tengsizlik ishorasini o‘zgartirmaslik.
- Tengsizlikda aniqlanish sohasini (f > 0) yozishni unutish.
Mashq
1
log_5 (2x + 3) = 2 ni yeching.
11
2
lg x + lg (x - 3) = 1 ni yeching.
5
3
log_3 (x + 1) ≤ 2 ni yeching.
(-1; 8]
4
log_(1/3) x ≥ -2 ni yeching.
(0; 9]