3
Ko‘rsatkichli tengsizliklar va sistemalar
maktab darsligi: matematika 10-sinf, ko‘rsatkichli tengsizliklar va sistemalar
Maqsad: Tengsizlikni asosga qarab ishorani saqlab yoki o‘zgartirib yechish; ko‘rsatkichli sistemalarni yechish.
Qoida va g‘oya
Ko‘rsatkichli tengsizlikda ishora asosga bog‘liq. a > 1 bo‘lsa, a^f > a^g dan f > g (ishora saqlanadi). 0 < a < 1 bo‘lsa, a^f > a^g dan f < g (ishora o‘zgaradi). Avval ikki tomonni bir xil asosli darajaga keltiring. Kvadrat ko‘rinishdagi tengsizlikda t = a^x qo‘yilib, t ning oralig‘i topiladi, so‘ng t > 0 ni hisobga olib x ga qaytiladi. Sistemalarda ko‘paytirishdan ko‘rsatkichlar qo‘shiladi: a^x · a^y = a^(x + y), bo‘lishda ayiriladi: a^x : a^y = a^(x - y). Shu bilan sistema chiziqli sistemaga aylanadi.
Namunaviy masalalar
3^x > 81 ni yeching.
Yechim: 81 = 3^4. Asos 3 > 1, ishora saqlanadi: x > 4.
Javob: (4; +∞)
Yechim: 81 = 3^4. Asos 3 > 1, ishora saqlanadi: x > 4.
Javob: (4; +∞)
(1/2)^x ≥ 1/8 ni yeching.
Yechim: 1/8 = (1/2)^3. Asos 1/2 < 1, ishora o‘zgaradi: x ≤ 3.
Javob: (-∞; 3]
Yechim: 1/8 = (1/2)^3. Asos 1/2 < 1, ishora o‘zgaradi: x ≤ 3.
Javob: (-∞; 3]
2^x · 4^y = 32 va x + y = 3 sistemani yeching.
Yechim: 2^(x + 2y) = 2^5, x + 2y = 5. x + y = 3 ni ayiramiz: y = 2, x = 1.
Javob: (1; 2)
Yechim: 2^(x + 2y) = 2^5, x + 2y = 5. x + y = 3 ni ayiramiz: y = 2, x = 1.
Javob: (1; 2)
Tipik xatolar
- Asos 1 dan kichik bo‘lganda tengsizlik ishorasini o‘zgartirishni unutish.
- 2^(x^2) < 16 da x^2 < 4 dan faqat x < 2 deb yozish: -2 < x < 2.
- Sistemada ko‘paytmaning ko‘rsatkichlarini ko‘paytirish: ular qo‘shiladi.
Mashq
1
5^(x - 1) < 25 ni yeching.
(-∞; 3)
2
(1/2)^x < 4 ni yeching.
(-2; +∞)
3
4^x - 5 · 2^x + 4 ≤ 0 ni yeching.
[0; 2]
4
2^x · 2^y = 64 va x - y = 2 sistemani yeching.
(4; 2)