3
Trigonometrik tengsizliklar va funksiyalar: sin x, cos x, tg x
maktab darsligi: matematika 10-sinf, trigonometrik funksiyalar va ularning grafiklari
Maqsad: Eng sodda tengsizliklarni birlik aylana bo‘yicha yechish; sin, cos, tg ning davri va qiymatlar sohasini bilish.
Qoida va g‘oya
y = sin x: aniqlanish sohasi barcha sonlar, qiymatlar [-1; 1], toq, davri 2π; grafigi (0; 0) dan boshlanib, π/2 da 1 ga ko‘tariladi, π da 0, 3π/2 da -1. y = cos x: juft, davri 2π, x = 0 da 1. y = tg x: toq, davri π, x ≠ π/2 + πn da aniqlangan, qiymatlari barcha sonlar. y = A sin(bx) + c uchun davr 2π/|b| (tg uchun π/|b|), qiymatlar [c - |A|; c + |A|]. Tengsizlikni birlik aylanada yeching: sin x > a — ordinatasi a dan katta bo‘lgan yoy. Misol: sin x > 1/2 ni [0; 2π] da: yoy π/6 dan 5π/6 gacha, ya’ni (π/6; 5π/6). Umumiy yechim uchun oraliqning ikki chetiga 2πn qo‘shing.
Namunaviy masalalar
y = 3 sin 2x - 1 funksiyaning davri va qiymatlar sohasini toping.
Yechim: Davr 2π/2 = π. Qiymatlar -3 - 1 = -4 dan 3 - 1 = 2 gacha.
Javob: davr π; [-4; 2]
Yechim: Davr 2π/2 = π. Qiymatlar -3 - 1 = -4 dan 3 - 1 = 2 gacha.
Javob: davr π; [-4; 2]
y = cos(x/3) ning davrini toping.
Yechim: 2π : (1/3) = 6π.
Javob: 6π
Yechim: 2π : (1/3) = 6π.
Javob: 6π
sin x > 1/2 tengsizlikni [0; 2π] kesmada yeching.
Yechim: sin x = 1/2 bo‘ladigan nuqtalar π/6 va 5π/6. Aylananing yuqori qismi: π/6 < x < 5π/6.
Javob: (π/6; 5π/6)
Yechim: sin x = 1/2 bo‘ladigan nuqtalar π/6 va 5π/6. Aylananing yuqori qismi: π/6 < x < 5π/6.
Javob: (π/6; 5π/6)
Tipik xatolar
- Davrni y = sin(bx) da 2π · b deb olish: davr 2π/|b|.
- cos x ≥ a tengsizlikda birlik aylanada yoyni noto‘g‘ri tomondan olish: kosinus abssissa.
- tg x ning davrini 2π deb olish: u π.
Mashq
1
y = sin 4x ning davrini toping.
π/2
2
y = 2 cos x + 1 ning eng katta qiymatini toping.
3
3
y = 5 - 2 sin x ning qiymatlar sohasini toping.
[3; 7]
4
cos x ≥ 1/2 tengsizlikni [0; π] kesmada yeching.
[0; π/3]