☰ Reja · Matematika

Trigonometrik tenglama, tengsizlik va funksiyalar

19-hafta · blok 1.7, 1.12 · 3 dars
2

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

maktab darsligi: matematika 10-sinf, trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
Maqsad: O‘zgaruvchini almashtirish, ko‘paytuvchilarga ajratish va bir funksiyaga keltirish usullarini qo‘llash.
Qoida va g‘oya

Murakkab tenglama eng soddalariga keltiriladi. 1) O‘zgaruvchini almashtirish: tenglama faqat sin x (yoki cos x) orqali kvadrat ko‘rinishda bo‘lsa, t = sin x qo‘ying; t kvadrat tenglamadan topiladi, so‘ng |t| ≤ 1 shartni tekshiring. 2) Ko‘paytuvchilarga ajratish: sin 2x ni 2 sin x cos x bilan almashtirib umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqaring, har bir ko‘paytuvchini 0 ga tenglang. 3) Bir funksiyaga keltirish: cos^2 x = 1 - sin^2 x. 4) a sin x + b cos x = 0 ni cos x ga bo‘lib tg x = -b/a ga keltirish. Har bir tenglamani yechgach, aniqlanish sohasini tekshiring; ikki tomonni noma’lum ifodaga qisqartirmang, ildiz yo‘qoladi.

Namunaviy masalalar
2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0 ni yeching.
Yechim: t = cos x: 2t^2 - 3t + 1 = 0, t = 1 yoki t = 1/2. cos x = 1: x = 2πn; cos x = 1/2: x = ± π/3 + 2πn.
Javob: x = 2πn; x = ± π/3 + 2πn
sin 2x - sin x = 0 ni yeching.
Yechim: 2 sin x cos x - sin x = sin x (2 cos x - 1) = 0. sin x = 0: x = πn; cos x = 1/2: x = ± π/3 + 2πn.
Javob: x = πn; x = ± π/3 + 2πn
sin x + cos x = 0 ni yeching.
Yechim: cos x ≠ 0 (aks holda sin x ham 0 bo‘lib qoladi). cos x ga bo‘lamiz: tg x = -1, x = -π/4 + πn.
Javob: x = -π/4 + πn
Tipik xatolar
  • Umumiy ko‘paytuvchi sin x ga ikki tomonni qisqartirib, sin x = 0 yechimlarini yo‘qotish.
  • t = sin x almashtirishdan keyin |t| > 1 chiqqan ildizni tashlamaslik.
  • Ikki xil ildiz seriyasini bitta formulaga noto‘g‘ri birlashtirish.
Mashq
1
2 sin^2 x - 3 sin x + 1 = 0 ni yeching.
2
cos 2x = 1/2 ni yeching.
3
sin x = 2 tenglama yechimga egami?
4
sin x cos x = 0 ni yeching.