3
Yig‘indini ko‘paytmaga va ko‘paytmani yig‘indiga aylantirish
maktab darsligi: matematika 10-sinf, trigonometrik funksiyalarni ko‘paytmaga keltirish
Maqsad: Yig‘indi va ko‘paytma formulalari yordamida ifodani qisqartirish yoki qiymatini topish.
Qoida va g‘oya
Yig‘indi → ko‘paytma: sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2); sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2); cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2). Ko‘paytma → yig‘indi: sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α - β))/2; cos α cos β = (cos(α - β) + cos(α + β))/2; sin α sin β = (cos(α - β) - cos(α + β))/2. Surat va maxrajdagi yig‘indilarni ko‘paytmaga aylantirsangiz, umumiy ko‘paytuvchi qisqaradi. Burchaklarning yarim yig‘indisi va yarim ayirmasi qulay (30°, 45°, 60°) bo‘lsin.
Namunaviy masalalar
sin 75° + sin 15° ni hisoblang.
Yechim: 2 sin 45° cos 30° = 2 · sqrt(2)/2 · sqrt(3)/2 = sqrt(6)/2.
Javob: sqrt(6)/2
Yechim: 2 sin 45° cos 30° = 2 · sqrt(2)/2 · sqrt(3)/2 = sqrt(6)/2.
Javob: sqrt(6)/2
cos 75° cos 15° ni hisoblang.
Yechim: (cos 60° + cos 90°)/2 = (1/2 + 0)/2 = 1/4.
Javob: 1/4
Yechim: (cos 60° + cos 90°)/2 = (1/2 + 0)/2 = 1/4.
Javob: 1/4
(sin 5α + sin α)/(cos 5α + cos α) ni soddalashtiring.
Yechim: Surat 2 sin 3α cos 2α, maxraj 2 cos 3α cos 2α. Qisqartiramiz: tg 3α.
Javob: tg 3α
Yechim: Surat 2 sin 3α cos 2α, maxraj 2 cos 3α cos 2α. Qisqartiramiz: tg 3α.
Javob: tg 3α
Tipik xatolar
- Yarim yig‘indi o‘rniga yig‘indining o‘zini qo‘yish: (α + β)/2 bo‘lishi kerak.
- cos α - cos β formulasidagi minus ishorasini tushirib qoldirish.
- Ko‘paytmaning ikkitasini ikkilab hisoblash: 1/2 ko‘paytuvchini unutish.
Mashq
1
cos 105° + cos 15° ni hisoblang.
sqrt(2)/2
2
(sin 5α - sin α)/(2 cos 3α) ni soddalashtiring.
sin 2α
3
2 sin 45° cos 15° ni hisoblang.
(sqrt(3) + 1)/2
4
cos 70° + cos 50° - cos 10° ni hisoblang.
0