3
Eng katta va eng kichik qiymat, ekstremum, limit tushunchasi
maktab darsligi: matematika 11-sinf, funksiyaning limiti; funksiya grafigi
Maqsad: Kesmada funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish va oddiy limitlarni hisoblash.
Qoida va g‘oya
Uzluksiz funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari kesma chetlarida yoki ekstremum nuqtalarida (maksimum va minimum nuqtalarida) bo‘ladi. Kvadrat funksiyada ekstremum — parabola uchi. Uch kesmaga tushsa, uning va kesma chetlarining qiymatlarini hisoblab solishtiring; tushmasa, chetlarni solishtirish yetarli. Monoton funksiyada eng katta va eng kichik qiymatlar chetlarda. Limit: x soni a ga yaqinlashganda f(x) yaqinlashadigan son. Agar kasr 0/0 ko‘rinishda bo‘lsa, surat va maxrajni ko‘paytuvchilarga ajrating va qisqartiring. x cheksiz ortganda 1/x → 0; (ax + b)/(cx + d) ning limiti a/c ga teng.
Namunaviy masalalar
y = x^2 - 4x + 1 funksiyaning [0; 5] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.
Yechim: Uch x = 2 kesmada, y(2) = -3. Chetlari: y(0) = 1, y(5) = 6. Eng kichik -3, eng katta 6.
Javob: min -3, max 6
Yechim: Uch x = 2 kesmada, y(2) = -3. Chetlari: y(0) = 1, y(5) = 6. Eng kichik -3, eng katta 6.
Javob: min -3, max 6
y = -x^2 + 2x funksiyaning [2; 4] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.
Yechim: Uch x = 1 kesmadan tashqarida, kesmada funksiya kamayadi. y(2) = 0, y(4) = -8.
Javob: max 0, min -8
Yechim: Uch x = 1 kesmadan tashqarida, kesmada funksiya kamayadi. y(2) = 0, y(4) = -8.
Javob: max 0, min -8
(x^2 - 4)/(x - 2) ifodaning x → 2 dagi limitini toping.
Yechim: Surat (x - 2)(x + 2). Qisqartirib x + 2 ni olamiz, x = 2 da 4.
Javob: 4
Yechim: Surat (x - 2)(x + 2). Qisqartirib x + 2 ni olamiz, x = 2 da 4.
Javob: 4
Tipik xatolar
- Faqat kesma chetlarini hisoblab, ichkaridagi uchni tekshirmaslik.
- Uch kesmadan tashqarida bo‘lsa ham uning qiymatini javobga kiritish.
- 0/0 ko‘rinishdagi limitni «nol» yoki «mavjud emas» deb yozish: avval qisqartirish kerak.
Mashq
1
y = x^2 - 6x funksiyaning [0; 5] kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
-9
2
y = |x - 3| funksiyaning [0; 5] kesmadagi eng katta qiymatini toping.
3
3
(x^2 - 9)/(x - 3) ifodaning x → 3 dagi limitini toping.
6
4
(2x + 5)/(x - 1) ifodaning x cheksiz ortgandagi limitini toping.
2