☰ Reja · Matematika

Tengsizliklar

13-hafta · blok 1.11 · 3 dars
2

Kvadrat tengsizliklar va oraliqlar usuli

maktab darsligi: algebra 8–9-sinf, kvadrat tengsizliklar
Maqsad: Kvadrat va yuqori darajali tengsizlikni ildizlar va ishoralar jadvali bilan yechish.
Qoida va g‘oya

Kvadrat tengsizlikni yechish uchun avval ax^2 + bx + c = 0 ning ildizlarini toping. a > 0 bo‘lsa, parabola shoxlari yuqoriga qaragan: ildizlar orasida ifoda manfiy, tashqarisida musbat. Oraliqlar usuli: ifodani (x - x1)(x - x2)... ko‘paytma ko‘rinishiga keltiring, ildizlarni sonlar o‘qida belgilang, eng o‘ng oraliqda ishorani aniqlang (hamma ko‘paytuvchi musbat bo‘lsa, ko‘paytma musbat), so‘ng chap tomonga o‘tganda ishora har bir oddiy ildizda almashadi. Agar diskriminant manfiy bo‘lsa, kvadrat uchhad doim bir ishorali: x^2 + 4 > 0 har qanday x da to‘g‘ri. ≤ yoki ≥ bo‘lsa, ildizlar javobga kiradi.

Namunaviy masalalar
x^2 - 5x + 6 < 0 ni yeching.
Yechim: Ildizlar 2 va 3. a > 0, demak ildizlar orasida manfiy: 2 < x < 3.
Javob: (2; 3)
x^2 - 9 ≥ 0 ni yeching.
Yechim: (x - 3)(x + 3) ≥ 0. Ildizlar -3 va 3. Tashqarisida musbat, ildizlar kiradi.
Javob: (-∞; -3] ∪ [3; +∞)
(x - 1)(x + 2)(x - 4) > 0 ni yeching.
Yechim: Ildizlar -2, 1, 4. 4 dan o‘ngda ishora +, keyin 1 va 4 orasida -, -2 va 1 orasida +, -2 dan chapda -. Javob: (-2; 1) va (4; +∞).
Javob: (-2; 1) ∪ (4; +∞)
Tipik xatolar
  • Ildizlar orasini yoki tashqarisini adashtirish: a > 0 va ifoda > 0 bo‘lsa javob tashqarisi.
  • Diskriminant manfiy bo‘lganda ildiz yo‘q deb yechim yo‘q deyish: x^2 + 4 > 0 ning yechimi barcha sonlar.
  • x^2 ≥ 9 dan faqat x ≥ 3 deb yozish: -3 dan chap tomon ham yechim.
Mashq
1
x^2 - 4x - 5 ≤ 0 ni yeching.
2
x^2 + 2x > 0 ni yeching.
3
(x + 3)(x - 2) < 0 ni yeching.
4
x^2 + 4 > 0 ni yeching.