25
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulalari. Diskriminant
Darslik: 141–148-betlar
MaqsadTo‘la kvadrat ajratish usulini va ildizlar formulasini bilish; diskriminant yordamida ildizlar sonini aniqlash va kvadrat tenglamalarni yechish.
Yangi so‘zlar
diskriminant · discriminantto‘la kvadratni ajratish · completing the squareildizlar formulasi · root formulahaqiqiy ildizlar · real roots
Tushuntirish
Umumiy ko‘rinishdagi ax² + bx + c = 0 tenglamani to‘la kvadrat ajratish usuli bilan yechib, ildizlar formulasini hosil qilamiz: x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a). Ildiz ostidagi D = b² - 4ac ifoda tenglamaning diskriminanti deyiladi. Agar D > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita turli ildizga ega; D = 0 bo‘lsa, bitta ildizga ega x = -b/(2a); D < 0 bo‘lsa, haqiqiy ildizlari yo‘q. Shuning uchun avval D ni hisoblaymiz, so‘ng D ning ishorasiga qarab formuladan foydalanamiz. To‘la kvadrat usulida x² + 6x ni (x + 3)² - 9 ko‘rinishida yozib, tenglamani (x + 3)² = k ga keltiramiz.
Namunalar
2x² - 5x + 2 = 0: D = 25 - 16 = 9 > 0; x = (5 ± 3)/4, x₁ = 2, x₂ = 1/2. x² + 6x + 9 = 0: D = 0, x = -3. x² + 2x + 5 = 0: D = 4 - 20 = -16 < 0, ildiz yo‘q.
To‘la kvadrat usuli: x² + 8x + 7 = 0 → x² + 8x + 16 = 9 → (x + 4)² = 9 → x + 4 = ±3 → x₁ = -1, x₂ = -7.
Sinfda faoliyat
«Diskriminant lotereyasi»: har bir o‘quvchi a, b, c ni tasodifiy tanlaydi, D ni hisoblaydi va ildizlar sonini e’lon qiladi; kim ko‘p ildiz topsa, ochko oladi.
Mashq
1
3x² + 2x - 1 = 0 tenglamaning diskriminantini toping.
16
2
x² - 7x + 10 = 0 tenglamani yeching.
x₁ = 5, x₂ = 2
3
3x² - 4x + 1 = 0 tenglamani yeching.
x₁ = 1, x₂ = 1/3
4
Nima uchun D < 0 bo‘lsa, tenglama haqiqiy ildizga ega emas?
Chunki formulada manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish kerak bo‘ladi, bu esa haqiqiy sonlarda mumkin emas.