15
Возведение числовых неравенств в степень
Учебник: с. 80–84
ЦельУмей возводить неравенство с положительными частями в натуральную или рациональную степень и использовать это для сравнения чисел.
Новые слова
возведение в степень · darajaga ko‘tarishположительные части · musbat qismlarотрицательный показатель · manfiy ko‘rsatkichсравнение чисел · sonlarni taqqoslash
Объяснение
Если a > b > 0 и n — натуральное число, то aⁿ > bⁿ; это следует из почленного умножения неравенства на себя n раз. Свойство распространяется на положительные рациональные показатели: если a > b > 0 и r > 0, то aʳ > bʳ; например, 5^(1/2) > 3^(1/2) и 7^(2/3) > 5^(2/3). Если r < 0, знак меняется: aʳ < bʳ. Для отрицательных оснований правило не выполняется: -3 < -2, но (-3)² > (-2)². Чтобы сравнить корни, возводят их в общую степень.
Примеры
Сравним √2 и ³√3: возведём оба числа в 6-ю степень: (√2)⁶ = 2³ = 8, (³√3)⁶ = 3² = 9. Так как 9 > 8, ³√3 > √2.
0,8 > 0,5 и r = -2 < 0: (0,8)^(-2) < (0,5)^(-2). Действительно, 1/0,64 ≈ 1,56 и 1/0,25 = 4.
Работа в классе
«Арена степеней»: даны два числа с корнями; команды находят общий показатель, возводят оба числа в эту степень и называют большее число.
Упражнения
1
Сравни (2/3)⁴ и (3/4)⁴.
(2/3)⁴ < (3/4)⁴
2
Сравни √3 и ⁴√8.
√3 > ⁴√8
3
Сравни 7^(-1/2) и 5^(-1/2).
7^(-1/2) < 5^(-1/2)
4
Почему из -3 < -2 нельзя заключить, что (-3)² < (-2)²?
Потому что правило работает только для неравенств с положительными частями; (-3)² = 9 и (-2)² = 4, а 9 > 4.