14
Сложение и умножение неравенств
Учебник: с. 75–79
ЦельУмей почленно складывать и умножать неравенства и использовать это для оценки значений выражений.
Новые слова
почленное сложение · hadlab qo‘shishпочленное умножение · hadlab ko‘paytirishоценка · baholashдвойное неравенство · qo‘sh tengsizlik
Объяснение
Неравенства одного знака можно почленно складывать: если a > b и c > d, то a + c > b + d. Доказательство: (a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d) — сумма положительных чисел. Неравенства одного знака, у которых все части положительны, можно и почленно умножать: если a > b > 0 и c > d > 0, то ac > bd. С числами, не являющимися положительными, это правило может не выполняться. С помощью этих правил оценивают суммы, произведения, периметры и площади. Чтобы оценить разность, сначала умножь неравенство на -1, а затем сложи.
Примеры
Если 2 < x < 3 и 4 < y < 5, то 6 < x + y < 8 и 8 < xy < 15 (все числа положительны). Из -5 < -y < -4 получаем -3 < x - y < -1.
Если у прямоугольника стороны 4 < a < 5 и 2 < b < 3, то P = 2(a + b): 6 < a + b < 8, поэтому 12 < P < 16; а площадь S = ab удовлетворяет условию 8 < S < 15.
Работа в классе
«Оценщики»: каждая пара задаёт стороны коробки с границами (например, 20 < a < 21), а другая пара оценивает объём и площадь поверхности.
Упражнения
1
Если 2 < a < 3 и 1 < b < 2, оцени a + b.
3 < a + b < 5
2
При тех же условиях оцени ab.
2 < ab < 6
3
Если 5 < x < 7, оцени 2x - 1.
9 < 2x - 1 < 13
4
Почему нельзя почленно умножать неравенства с отрицательными числами? Приведи пример.
Если перемножить -3 < -2 и -5 < -1, получим 15 и 2, но 15 > 2: знак нарушен.