10
Степень с рациональным показателем и её свойства
Учебник: с. 42–48
ЦельЗнай определение и свойства степени с рациональным показателем и применяй их в вычислениях.
Новые слова
рациональный показатель · ratsional ko‘rsatkichоснование степени · darajaning asosiотрицательный показатель · manfiy ko‘rsatkichзапись степени в виде корня · darajani ildiz ko‘rinishida yozish
Объяснение
Для a > 0 и рационального числа m/n (m — целое, n ≥ 2 — натуральное) определяют a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ); например, 8^(2/3) = ³√(8²) = (³√8)² = 4. Для отрицательного показателя a^(-r) = 1/a^r. Сокращение дроби в показателе не меняет степень: a^(m/n) = a^(mk/(nk)). Все свойства степени с натуральным показателем сохраняются и для рациональных показателей: aᵖ · aᵠ = aᵖ⁺ᵠ, aᵖ : aᵠ = aᵖ⁻ᵠ, (aᵖ)ᵠ = aᵖᵠ, (ab)ᵖ = aᵖbᵖ, (a/b)ᵖ = aᵖ/bᵖ (a > 0, b > 0). С помощью этих свойств можно записывать выражения с корнями в виде степеней и упрощать вычисления.
Примеры
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4; 27^(-2/3) = 1/27^(2/3) = 1/(³√27)² = 1/9.
4^(1/2) · 4^(3/2) = 4^(1/2 + 3/2) = 4² = 16; 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.
Работа в классе
«Степень ↔ корень»: команды подбирают пары карточек: a^(1/2) к √a, a^(2/3) к ³√(a²), a^(-1/2) к 1/√a и так далее.
Упражнения
1
Вычисли 81^(3/4).
27
2
Вычисли 8^(4/3).
16
3
Упрости 7^(2/5) · 7^(3/5).
7
4
Почему a^(-r) = 1/a^r?
Потому что a^r · a^(-r) = a⁰ = 1, поэтому a^(-r) — число, обратное a^r.