12
Числовые неравенства
Учебник: с. 68–70
ЦельЗнай определение числового неравенства; умей сравнивать два числа по их разности и доказывать простые неравенства.
Новые слова
числовое неравенство · sonli tengsizlikсравнение чисел · sonlarni taqqoslashзнак разности · ayirmaning ishorasiчисловая прямая · son o‘qi
Объяснение
Число a больше b (a > b), если разность a - b положительна; a < b означает, что разность a - b отрицательна. Для любых двух чисел a и b верно ровно одно из соотношений: a > b, a = b, a < b. Сравнить числа — значит решить, какой из знаков >, = или < подходит между ними; для этого находим знак разности. На числовой прямой большее число лежит правее меньшего. По знаку разности можно и доказывать неравенства: так как a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0, неравенство a² + b² ≥ 2ab верно всегда.
Примеры
7/9 и 3/4: 7/9 - 3/4 = (28 - 27)/36 = 1/36 > 0, значит, 7/9 > 3/4.
Докажем, что a² + b² ≥ 2ab: a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0. Равенство достигается только при a = b.
Работа в классе
«Найди большее»: на карточках записаны дроби, квадраты и корни; пара сравнивает два из них с помощью разности и показывает результат на числовой прямой.
Упражнения
1
Сравни -0,35 и -3/8.
-0,35 > -3/8
2
Что больше: (x + 2)² или x² + 4x + 3?
(x + 2)² больше: разность равна 1 > 0.
3
Если a - b = -5, что больше: a или b?
больше b
4
Почему a² + b² ≥ 2ab верно при всех a и b?
Потому что разность равна квадрату (a - b)², а квадрат никогда не бывает отрицательным.