11
Преобразование алгебраических выражений с рациональными показателями
Учебник: с. 49–55
ЦельУпрощай алгебраические выражения с рациональными показателями, используя формулы сокращённого умножения и свойства степеней.
Новые слова
упрощение выражения · ifodani soddalashtirishформула сокращённого умножения · qisqa ko‘paytirish formulasiвынесение общего множителя · umumiy ko‘paytuvchini chiqarishсокращение · qisqartirish
Объяснение
В таких выражениях буквы считаются положительными. Формулы сокращённого умножения работают и для этих степеней: положим x^(1/2) = a и y^(1/2) = b и воспользуемся формулами (a ± b)² = a² ± 2ab + b² и a² - b² = (a - b)(a + b). Например, x - y = (x^(1/2) - y^(1/2))(x^(1/2) + y^(1/2)). Перед сокращением дроби вынеси общий множитель из числителя и знаменателя. При умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются. Запиши ответ в простейшем виде — в виде корня или степени.
Примеры
(a - b)/(a^(1/2) - b^(1/2)) = (a^(1/2) - b^(1/2))(a^(1/2) + b^(1/2))/(a^(1/2) - b^(1/2)) = a^(1/2) + b^(1/2). При a = 16, b = 9 значение равно 4 + 3 = 7.
(x^(2/3) - 9)/(x^(1/3) + 3) = (x^(1/3) - 3)(x^(1/3) + 3)/(x^(1/3) + 3) = x^(1/3) - 3; (x^(1/2) + y^(1/2))² = x + 2(xy)^(1/2) + y.
Работа в классе
«Приём подстановки»: ученики заменяют x^(1/2) буквой a в сложном выражении, упрощают его, а затем возвращаются к x.
Упражнения
1
Упрости a^(1/2) · a^(3/2).
a²
2
Упрости (a^(1/2) + 2)(a^(1/2) - 2).
a - 4
3
Упрости (x - 1)/(x^(1/2) + 1) и найди его значение при x = 25.
x^(1/2) - 1; 4
4
Почему в таких выражениях буквы считаются положительными?
Потому что степени вида a^(1/2) имеют смысл при a ≥ 0, а свойства степеней доказаны для положительных оснований.