32
Основное правило комбинаторики и его применение в задачах
Учебник: с. 203–209
ЦельЗнай правила умножения и сложения и используй их для решения комбинаторных задач.
Новые слова
правило умножения · ko‘paytirish qoidasiправило сложения · qo‘shish qoidasiэтап выбора · tanlash bosqichiразличные цифры · takrorlanmaydigan raqamlar
Объяснение
Правило умножения (основное правило комбинаторики): если первый выбор можно сделать m способами, а второй (после каждого первого выбора) — n способами, то два выбора подряд можно сделать m · n способами. Правило распространяется на более чем два этапа: числа способов перемножают. Правило сложения: если объект можно выбрать m способами или из другой группы n способами, и группы не пересекаются, то всего существует m + n способов. Для чисел с различными цифрами на каждом следующем месте остаётся на одну возможность меньше; помни также, что 0 не может стоять первым.
Примеры
Ученик выбирает одну из 3 ручек и одну из 4 тетрадей: 3 · 4 = 12 наборов. 3 рубашки и 2 пары брюк: 3 · 2 = 6 нарядов.
Трёхзначные числа с различными цифрами: у первой цифры 9 вариантов (не 0), у второй 9 (0 разрешён, но не цифра, уже стоящая первой), у третьей 8: 9 · 9 · 8 = 648. Выбор одного кружка из 3 спортивных или 4 художественных: 3 + 4 = 7 способов (правило сложения).
Работа в классе
«Кодовый замок»: ученики угадывают число возможностей для 3-значного кода замка, а затем вычисляют его по правилу умножения, чтобы проверить догадку.
Упражнения
1
В меню 4 супа и 5 вторых блюд. Сколько существует разных обедов из одного супа и одного второго блюда?
20
2
Сколько трёхзначных кодов можно составить из цифр 1–5 (повторения разрешены)?
125
3
Сколько существует четырёхзначных чисел с различными цифрами?
4536
4
Почему при последовательных выборах числа способов перемножают, а не складывают?
Потому что каждый способ первого выбора сочетается со всеми способами второго, поэтому каждый из m способов повторяется n раз.