7
Тождественные преобразования дробно-рациональных выражений
Учебник: с. 30–33
ЦельУпрощай дробно-рациональные выражения с помощью действий над алгебраическими дробями и находи их значения.
Новые слова
дробно-рациональное выражение · kasr-ratsional ifodaтождественное преобразование · ayniy almashtirishупрощение выражения · ifodani soddalashtirishпорядок действий · amallar tartibi
Объяснение
Выражение, составленное из нескольких алгебраических дробей, соединённых знаками арифметических действий, называется дробно-рациональным выражением. Знаменатели не должны равняться нулю. Упрощаем в обычном порядке: сначала скобки, затем умножение и деление, а в последнюю очередь сложение и вычитание. На каждом шаге приводим дроби к общему знаменателю, собираем числитель и сокращаем. Тождественные преобразования не меняют значения выражения при допустимых значениях, поэтому окончательный ответ записываем в простом виде, помня об условиях допустимости.
Примеры
(1/(x - 1) - 1/(x + 1)) · (x² - 1)/2 = ((x + 1) - (x - 1))/(x² - 1) · (x² - 1)/2 = 2/(x² - 1) · (x² - 1)/2 = 1.
(a + b)/(a - b) - (a - b)/(a + b) = ((a + b)² - (a - b)²)/(a² - b²) = 4ab/(a² - b²).
Работа в классе
«Гонка упрощений»: две команды упрощают одно и то же сложное выражение; каждый шаг нужно объяснить у доски. Побеждает команда с верным и самым понятным решением.
Упражнения
1
Упрости (1/x + 1/y) : ((x + y)/(xy)).
1
2
Упрости (x/y - y/x) · (xy/(x + y)).
x - y
3
Чему равно значение выражения из предыдущей задачи при x = 12, y = 5?
7
4
Почему при упрощении (x² - x)/(x - 1) до x нужно указать, что x ≠ 1?
Потому что исходный знаменатель x - 1 при x = 1 равен нулю, и выражение там не имеет смысла, хотя упрощённое «x» смысл имеет.