2
Konus va kesik konus
maktab darsligi: matematika 11-sinf, aylanish jismlari
Maqsad: Konusning yasovchisi, balandligi, hajmi va sirtini topish.
Qoida va g‘oya
Konusda radius r, balandlik h va yasovchi l to‘g‘ri burchakli uchburchak tashkil qiladi: l^2 = r^2 + h^2. Hajm V = pi r^2 h/3, yon sirt S = pi r l. Konus asosga parallel tekislik bilan kesilsa, kichik konus asosiy konusga o‘xshash: o‘xshashlik koeffitsiyenti balandliklar nisbatiga teng. Kesik konusda R va r — asos radiuslari, yasovchi l, balandlik h: l^2 = h^2 + (R - r)^2, V = pi h(R^2 + Rr + r^2)/3, yon sirt pi(R + r)l. Konusning yoyilmasi — sektor: sektor yoyi 2 pi r ga, radiusi l ga teng.
Namunaviy masalalar
Konusning r = 6, h = 8. Yasovchi, hajm, yon sirtni toping.
Yechim: l = 10. V = pi · 36 · 8/3 = 96 pi. Yon sirt = pi · 6 · 10 = 60 pi.
Javob: l = 10, V = 96 pi, yon sirt = 60 pi
Yechim: l = 10. V = pi · 36 · 8/3 = 96 pi. Yon sirt = pi · 6 · 10 = 60 pi.
Javob: l = 10, V = 96 pi, yon sirt = 60 pi
Konus yasovchisi 13, radiusi 5. Hajmi k pi bo‘lsa, k ni toping.
Yechim: h = 12. V = pi · 25 · 12/3 = 100 pi.
Javob: 100
Yechim: h = 12. V = pi · 25 · 12/3 = 100 pi.
Javob: 100
Kesik konusning asos radiuslari 5 va 2, yasovchisi 5. Balandligi va hajmini toping.
Yechim: h = sqrt(25 - 9) = 4. V = pi · 4(25 + 10 + 4)/3 = 52 pi.
Javob: h = 4, V = 52 pi
Yechim: h = sqrt(25 - 9) = 4. V = pi · 4(25 + 10 + 4)/3 = 52 pi.
Javob: h = 4, V = 52 pi
Tipik xatolar
- Hajmda 1/3 ni qoldirib ketish.
- Yasovchini balandlik deb hajmga qo‘yish.
- Kesik konusda h ni topishda (R - r) o‘rniga R + r ni olish.
Mashq
1
Konus yasovchisi 15, balandligi 12. Hajmi V = k pi bo‘lsa, k ni toping.
324
2
Konus yon sirti 20 pi, yasovchisi 5. Radiusini toping.
4
3
Kesik konus asos radiuslari 8 va 4, yasovchisi 5. Yon sirti k pi bo‘lsa, k ni toping.
60
4
Konus balandligining o‘rtasidan asosga parallel tekislik o‘tkazildi. Hosil bo‘lgan kichik konus hajmi butun konus hajmining qaysi qismi?
1/8