3
Egri chiziqli trapetsiya yuzi va tatbiqlar
maktab darsligi: matematika 11-sinf, integral va uning tatbiqlari
Maqsad: Integral yordamida yuz va bosib o‘tilgan yo‘lni hisoblash.
Qoida va g‘oya
Agar [a; b] kesmada f(x) ≥ 0 bo‘lsa, y = f(x) grafigi, Ox o‘qi va x = a, x = b chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzi S = integral_a^b f(x)dx. Ikki grafik orasidagi yuz: S = integral_a^b (f(x) - g(x))dx, bunda f yuqorida, g pastda; a va b grafiklar kesishgan nuqtalarning abssissalari (f = g tenglamadan). Grafik Ox o‘qidan pastda bo‘lsa, integral manfiy chiqadi, yuz esa uning moduli. Fizikada tezlik v(t) bo‘lsa, t1 dan t2 gacha o‘tilgan yo‘l s = integral_t1^t2 v(t)dt.
Namunaviy masalalar
y = x^2, y = 0, x = 3 chiziqlar bilan chegaralangan yuzni toping.
Yechim: S = integral_0^3 x^2 dx = 27/3 = 9.
Javob: 9
Yechim: S = integral_0^3 x^2 dx = 27/3 = 9.
Javob: 9
y = x va y = x^2 grafiklari orasidagi yuzni toping.
Yechim: x = x^2 dan x = 0 va x = 1. [0; 1] da x ≥ x^2. S = (1/2 - 1/3) = 1/6.
Javob: 1/6
Yechim: x = x^2 dan x = 0 va x = 1. [0; 1] da x ≥ x^2. S = (1/2 - 1/3) = 1/6.
Javob: 1/6
Nuqta v(t) = 3t^2 + 2 tezlik bilan harakatlanadi. t = 1 dan t = 3 gacha qancha yo‘l o‘tadi?
Yechim: s = [t^3 + 2t] dan 1 dan 3 gacha = (27 + 6) - (1 + 2) = 30.
Javob: 30
Yechim: s = [t^3 + 2t] dan 1 dan 3 gacha = (27 + 6) - (1 + 2) = 30.
Javob: 30
Tipik xatolar
- Yuqori va pastki grafikni almashtirib, manfiy yuz olish.
- Kesishish nuqtalarini topmay, chegaralarni o‘zboshimchalik bilan olish.
- Ox dan pastdagi qismni integralda manfiy ishora bilan qoldirish.
Mashq
1
y = 2x + 1, y = 0, x = 0, x = 3 bilan chegaralangan yuzni toping.
12
2
y = x^2 - 4x parabola va Ox o‘qi bilan chegaralangan yuzni toping.
32/3
3
y = x^2 va y = 2x grafiklari orasidagi yuzni toping.
4/3
4
v(t) = 6t tezlik bilan harakatlanuvchi nuqta t = 2 dan t = 5 gacha qancha yo‘l o‘tadi?
63