☰ Reja · Matematika

Hosila: ta’rif, qoidalar, urinma

22-hafta · blok 1.13 · 3 dars
2

Murakkab funksiya hosilasi, geometrik va fizik ma’no

maktab darsligi: matematika 11-sinf, murakkab funksiyaning hosilasi; hosilaning ma’nosi
Maqsad: Murakkab funksiyaning hosilasini topish; hosilaning tezlik va og‘ish koeffitsiyenti ma’nosini bilish.
Qoida va g‘oya

Murakkab funksiya: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) — «tashqi funksiya hosilasi ichki funksiyaga qo‘yilib, ichkining hosilasiga ko‘paytiriladi». Masalan, ((2x + 1)^5)' = 5(2x + 1)^4 · 2; (e^(3x))' = 3 e^(3x); (sin 2x)' = 2 cos 2x; (ln(x^2 + 1))' = 2x/(x^2 + 1). Geometrik ma’no: f'(x0) — grafikka (x0; f(x0)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning og‘ish koeffitsiyenti, ya’ni urinma va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchak tangensi. Fizik ma’no: moddiy nuqta s(t) qonun bilan harakatlansa, tezlik v(t) = s'(t), tezlanish a(t) = v'(t) = s''(t). Hosila funksiyaning shu nuqtadagi o‘zgarish tezligini bildiradi.

Namunaviy masalalar
f(x) = (2x + 1)^5 bo‘lsa, f'(0) ni toping.
Yechim: f' = 5(2x + 1)^4 · 2 = 10(2x + 1)^4. f'(0) = 10.
Javob: 10
Jism s(t) = t^3 - 6t^2 + 2 qonun bilan harakatlanadi. t = 3 dagi tezlikni toping.
Yechim: v(t) = 3t^2 - 12t. v(3) = 27 - 36 = -9.
Javob: -9
f(x) = e^(3x) + sin 2x ning hosilasini toping.
Yechim: 3e^(3x) + 2 cos 2x.
Javob: 3e^(3x) + 2 cos 2x
Tipik xatolar
  • Murakkab funksiyada ichki funksiya hosilasiga ko‘paytirishni unutish: (sin 2x)' = cos 2x emas.
  • Tezlanishni s ning birinchi hosilasi deb olish: u ikkinchi hosila.
  • (2x + 1)^5 ning hosilasini 5(2x + 1)^5 deb yozish: daraja 1 ga kamayadi.
Mashq
1
f(x) = (3x - 2)^4 bo‘lsa, f'(1) ni toping.
2
s(t) = 2t^3 - t bo‘lsa, t = 2 dagi tezlikni toping.
3
f(x) = sin 3x bo‘lsa, f'(0) ni toping.
4
f(x) = ln(2x) bo‘lsa, f'(5) ni toping.