3
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va aralash masalalar
maktab darsligi: algebra 9-sinf, cheksiz kamayuvchi progressiya
Maqsad: |q| < 1 bo‘lganda cheksiz yig‘indini hisoblash va davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish.
Qoida va g‘oya
Agar geometrik progressiyada |q| < 1 bo‘lsa, hadlar nolga yaqinlashadi va cheksiz sondagi hadlar yig‘indisi chekli bo‘ladi: S = b1/(1 - q). Masalan, 12, 6, 3, ... da q = 1/2, S = 12/(1/2) = 24. Davriy kasr oddiy kasrga shunday aylantiriladi: 0,(3) = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ..., b1 = 0,3, q = 0,1, S = 0,3/0,9 = 1/3. Aralash masalada ikki shartni tenglamalar sistemasiga yozing: ko‘pincha b1 va q ni, yoki a1 va d ni topish kerak bo‘ladi. Agar |q| ≥ 1 bo‘lsa, cheksiz yig‘indi formulasi ishlamaydi.
Namunaviy masalalar
12, 6, 3, ... cheksiz progressiyaning yig‘indisini toping.
Yechim: q = 1/2, S = 12/(1 - 1/2) = 24.
Javob: 24
Yechim: q = 1/2, S = 12/(1 - 1/2) = 24.
Javob: 24
0,(3) davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.
Yechim: b1 = 0,3, q = 0,1. S = 0,3/(1 - 0,1) = 0,3/0,9 = 1/3.
Javob: 1/3
Yechim: b1 = 0,3, q = 0,1. S = 0,3/(1 - 0,1) = 0,3/0,9 = 1/3.
Javob: 1/3
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi 18, birinchi hadi 12. Maxrajini toping.
Yechim: 12/(1 - q) = 18, 1 - q = 2/3, q = 1/3.
Javob: 1/3
Yechim: 12/(1 - q) = 18, 1 - q = 2/3, q = 1/3.
Javob: 1/3
Tipik xatolar
- |q| ≥ 1 bo‘lganda ham S = b1/(1 - q) formulasini ishlatish.
- Davriy kasrda b1 ni noto‘g‘ri olish: 0,(27) da b1 = 0,27, q = 0,01.
- 1 - q ni q - 1 bilan almashtirib manfiy yig‘indi olish.
Mashq
1
8, 4, 2, ... cheksiz progressiyaning yig‘indisini toping.
16
2
0,(6) davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.
2/3
3
b1 = 9, q = -1/2 bo‘lsa, cheksiz yig‘indini toping.
6
4
Cheksiz yig‘indi 15, q = 0,4 bo‘lsa, b1 ni toping.
9