3
Ikkinchi darajali sistemalar, daraja va taqribiy yechish
maktab darsligi: algebra 9-sinf, ikkinchi darajali tenglamalar sistemasi; matematika 10-sinf
Maqsad: Ikkinchi darajali sistemani o‘rniga qo‘yish yoki Viyet bilan yechish; ildiz joylashgan oraliqni topish.
Qoida va g‘oya
Bir tenglamasi chiziqli, ikkinchisi ikkinchi darajali sistemada chiziqlidan noma’lumni ifodalab, ikkinchisiga qo‘yamiz. x + y = s, xy = k ko‘rinishida x va y — t^2 − st + k = 0 ning ildizlari. x^2 + y^2 = a bo‘lsa, (x + y)^2 = a + 2xy deb xy ni topish qulay. Darajali tenglamalar: (x − 1)^3 = 8 dan x − 1 = 2; x^4 = 81 dan x = ±3. Taqribiy yechish: f(x) uzluksiz va f(a), f(b) ishoralari har xil bo‘lsa, (a; b) oraliqda ildiz bor. Masalan f(x) = x^3 + x − 3: f(1) = −1, f(2) = 7, ildiz (1; 2) da.
Namunaviy masalalar
x + y = 5, xy = 6 sistemani yeching.
Yechim: x va y — t^2 − 5t + 6 = 0 ning ildizlari: 2 va 3. Yechimlar (2; 3) va (3; 2).
Javob: (2; 3), (3; 2)
Yechim: x va y — t^2 − 5t + 6 = 0 ning ildizlari: 2 va 3. Yechimlar (2; 3) va (3; 2).
Javob: (2; 3), (3; 2)
x^2 + y^2 = 25, x − y = 1 sistemani yeching.
Yechim: x = y + 1. (y + 1)^2 + y^2 = 25, y^2 + y − 12 = 0, y = 3 yoki −4. (4; 3), (−3; −4).
Javob: (4; 3), (−3; −4)
Yechim: x = y + 1. (y + 1)^2 + y^2 = 25, y^2 + y − 12 = 0, y = 3 yoki −4. (4; 3), (−3; −4).
Javob: (4; 3), (−3; −4)
x^3 + x − 3 = 0 tenglamaning ildizi qaysi butun sonlar oralig‘ida?
Yechim: f(1) = −1 < 0, f(2) = 7 > 0. Ildiz (1; 2) oraliqda.
Javob: (1; 2)
Yechim: f(1) = −1 < 0, f(2) = 7 > 0. Ildiz (1; 2) oraliqda.
Javob: (1; 2)
Tipik xatolar
- Sistemada bitta noma’lumni topib, ikkinchisini topishni unutish.
- x^2 + y^2 va (x + y)^2 ni aralashtirish: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.
- x^4 = 81 dan faqat x = 3 olish.
Mashq
1
x + y = 8, xy = 15 bo‘lsa, x^2 + y^2 ni toping.
34
2
(x − 1)^3 = 27 ni yeching.
4
3
x^4 = 16 ni yeching.
±2
4
x^2 + y^2 = 13, xy = 6 bo‘lsa, x + y ning musbat qiymatini toping.
5