☰ Содержание · Геометрия

Умножение вектора на число и применение векторов

Уроки 43–44 · 2 урока · А. А. Рахимкориев, М. А. Тухтахужаева. Геометрия, 8 класс (учебник для общеобразовательных средних школ), переработанное 3-е издание, соответствует интегрированной программе. «Янгийўл Полиграф Сервис», Ташкент, 2014
44

Применение векторов к решению задач

Учебник: с. 139–141
ЦельУмей применять векторы для решения геометрических задач и доказательства теорем.
Новые слова
середина отрезка · kesma o‘rtasiсредняя линия · o‘rta chiziqвекторный метод · vektor usuliвыражение вектора · vektorni ifodalash
Объяснение

Мы решаем задачи с помощью векторов в три этапа: записываем условие в векторной форме, преобразуем его с помощью векторной алгебры и истолковываем результат на геометрическом языке. Первый результат: если C — середина AB, а O — любая точка, то →OC = ½(→OA + →OB). Чтобы доказать это, запишем →OC = →OA + →AC и →OC = →OB + →BC; так как →AC + →BC — нулевой вектор, 2→OC = →OA + →OB. Второй результат — теорема о средней линии: если E и F — середины AB и AC, то →EF = →AF − →AE = ½(→AC − →AB) = ½→BC. Отсюда EF ∥ BC и EF = ½BC.

Примеры
Если C — середина AB, то →AC = ½→AB; если AB = 22, то |→AC| = 11.
В треугольнике ABC со стороной BC = 18 средняя линия EF удовлетворяет условиям EF ∥ BC и EF = 18 : 2 = 9.
Работа в классе

«Найди середину»: нарисуй треугольник, отметь середины двух сторон и измерь среднюю линию и третью сторону, чтобы сравнить.

Упражнения
1
M — середина AB и AB = 22. Чему равен |→AM|?
2
Одна сторона треугольника равна 30. Чему равна параллельная ей средняя линия?
3
C — середина AB и |→OA + →OB| = 18. Чему равен |→OC|?
4
Почему из →EF = ½→BC следует и EF ∥ BC, и EF = ½BC?