3
مخططات ڤن للعوامل الأولية: إيجاد ع.م.أ وم.م.أ
Discover Mathematics P6: Term 1, Unit 1, Lessons 1–2
Goalأستخدم مخطط ڤن للعوامل الأولية لأجد ع.م.أ وم.م.أ لعددين.
New words
ع.م.أ · العامل المشترك الأكبر: أكبر عدد يقسم العددينم.م.أ · المضاعف المشترك الأصغر: أصغر عدد يقبل القسمة على العددينمخطط ڤن · دائرتان متقاطعتان تُظهران ما هو مشتركأوليان فيما بينهما · عددان عاملهما المشترك الوحيد هو ١
Explanation
نكتب العوامل الأولية للعددين في مخطط ڤن. العوامل الأولية التي يملكها العددان معًا توضع في الجزء المشترك، والتي يملكها عدد واحد فقط توضع في دائرته. لنأخذ ١٢ = ٢ × ٢ × ٣ و١٨ = ٢ × ٣ × ٣. في كل منهما ٢ و٣ فنضعهما في الوسط. وفي ١٢ عامل ٢ زائد، وفي ١٨ عامل ٣ زائد. ع.م.أ هو حاصل ضرب الجزء المشترك: ٢ × ٣ = ٦. أما م.م.أ فهو حاصل ضرب كل الأعداد في المخطط مع عدّ المشتركة مرة واحدة: ٢ × ٣ × ٢ × ٣ = ٣٦. وإذا كان الجزء المشترك فارغًا فالعددان أوليان فيما بينهما وع.م.أ لهما ١.
ƒFormula
ع.م.أ = حاصل ضرب الجزء المشترك
م.م.أ = حاصل ضرب كل الأعداد في المخطط (المشترك مرة واحدة)
Worked examples
العددان ١٢ و١٨. الجزء المشترك فيه ٢ و٣ إذن ع.م.أ = ٢ × ٣ = ٦. وكل الأعداد في المخطط هي ٢ و٣ و٢ و٣ إذن م.م.أ = ٢ × ٣ × ٢ × ٣ = ٣٦. نتحقق: ٣٦ ÷ ١٢ = ٣ و٣٦ ÷ ١٨ = ٢.
٢٠ = ٢ × ٢ × ٥ و٣٠ = ٢ × ٣ × ٥. يشتركان في ٢ و٥ إذن ع.م.أ = ٢ × ٥ = ١٠. والمخطط فيه ٢ و٥ و٢ و٣ إذن م.م.أ = ٢ × ٥ × ٢ × ٣ = ٦٠.
٨ = ٢ × ٢ × ٢ و١٥ = ٣ × ٥ لا يشتركان في أي عدد أولي فالجزء المشترك فارغ. العددان ٨ و١٥ أوليان فيما بينهما، ع.م.أ = ١ وم.م.أ = ٨ × ١٥ = ١٢٠.
Class activity
لعبة الدائرتين. اختر مع شخص بالغ عددين أصغر من ٤٠ مثل ٢٤ و٣٦. يرسم كل منكما مخطط ڤن لعواملهما الأولية على ورقة (ويمكن استعمال حلقتين أو خيطين) ويوجد ع.م.أ وم.م.أ. قارنا الإجابتين وتأكدا أن العددين يقسمان م.م.أ.
Practice
1
استعمل العوامل الأولية للعددين ٢٤ = ٢ × ٢ × ٢ × ٣ و٣٦ = ٢ × ٢ × ٣ × ٣ لتجد ع.م.أ وم.م.أ.
المشترك: ٢ و٢ و٣ إذن ع.م.أ = ١٢. في ٢٤ فقط: ٢ واحد. في ٣٦ فقط: ٣ واحد. م.م.أ = ٢ × ٢ × ٣ × ٢ × ٣ = ٧٢.
2
أوجد ع.م.أ وم.م.أ للعددين ١٤ و٢١.
١٤ = ٢ × ٧ و٢١ = ٣ × ٧. ع.م.أ = ٧. م.م.أ = ٢ × ٧ × ٣ = ٤٢.
3
هل العددان ٩ و٢٨ أوليان فيما بينهما؟ اشرح.
نعم. ٩ = ٣ × ٣ و٢٨ = ٢ × ٢ × ٧ ولا يشتركان في أي عدد أولي.
4
أي زوج أولي فيما بينهما: ١٥ و٤٠ أم ١٦ و٢٥؟
١٦ و٢٥. العددان ١٥ و٤٠ يشتركان في العامل ٥. أما ١٦ = ٢ × ٢ × ٢ × ٢ و٢٥ = ٥ × ٥ فلا يشتركان في شيء.
5
تقول مينا إن م.م.أ للعددين ٦ و٤ هو ٦ × ٤ = ٢٤. أوجد الخطأ.
٦ = ٢ × ٣ و٤ = ٢ × ٢ يشتركان في ٢ واحد. نعدّ المشترك مرة واحدة: م.م.أ = ٢ × ٣ × ٢ = ١٢ وهو من مضاعفات العددين.