الأسبوع 6 · Parallel coplanar forces: an unknown force from the resultant, sums of moments of parallel forces, and the resultant of several parallel forces · 3 دروس
1
إيجاد إحدى القوتين المتوازيتين من المحصلة والقوة الأخرى والبعد بينهما، في حالتي اتفاق الاتجاه واختلافه
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1, Part 2
Goalأجد القوة المتوازية المجهولة والمسافة بين خطي العمل من المحصلة وإحدى القوتين، سواء اتفقت القوتان في الاتجاه أو اختلفتا.
New words
المحصلة · القوة الوحيدة التي تؤدي أثر القوى جميعها معًاخط العمل · المستقيم الذي تؤثر القوة على امتدادهقوتان متحدتا الاتجاه ومتضادتان · قوتان في اتجاه واحد، وقوتان في اتجاهين متعاكسين
Explanation
لتكن قوتان متوازيتان F₁ وF₂ ومحصلتهما R توازيهما أيضًا. ثلاث حقائق تربط القوى الثلاث. أولًا نختار اتجاه R اتجاهًا موجبًا فيكون R = F₁ + F₂، وتُكتب القوة التي في الاتجاه المعاكس بإشارة سالبة. ثانيًا لتؤثر R على مستقيم يمر بالنقطة C. لا أثر دورانيًّا لـR حول نقطة من خط عملها، فلا بد أن يلغي عزما F₁ وF₂ حول C بعضهما: F₁ × d₁ = F₂ × d₂ حيث d₁ وd₂ بعدا C عن خطي عمل القوتين، وتدير القوتان القضيب في اتجاهين متعاكسين. ثالثًا القوة الأكبر هي الأقرب. فالقوة المجهولة F₂ = R − F₁ والبعد المجهول d₂ = F₁d₁ / F₂. إذا كانت F₁ في اتجاه R فإن F₂ أصغر من R وفي اتجاهها أيضًا وتقع في الجهة الأخرى من R بالنسبة إلى F₁. وإذا كانت F₁ عكس R فإن F₂ = R + F₁ أكبر من R: القوتان متضادتان وتقعان في جهة واحدة من R، والقوة الأكبر F₂ هي الأقرب، فتقع المحصلة خارج القوتين من جهة الكبرى.
Worked examples
تؤثر قوتان متوازيتان في قضيب خفيف: إحداهما ٣٠ N والمحصلة ٥٠ N وبعد خط عمل القوة ٣٠ N عن المحصلة ١٢ cm. نعدّ اتجاه R (إلى أعلى) موجبًا. (أ) القوة ٣٠ N في اتجاه R. أوجد القوة الأخرى F وبعد خطها d عن المحصلة. الحل: F = ٥٠ − ٣٠ = ٢٠ N إلى أعلى. نأخذ العزوم حول C نقطة تأثير المحصلة: ٣٠ × ١٢ = ٢٠ × d فيكون d = ١٨ cm في الجهة الأخرى من المحصلة. والبعد بين القوتين ١٢ + ١٨ = ٣٠ cm.
البيانات نفسها لكن (ب) القوة ٣٠ N عكس اتجاه R فهي في الاتجاه الموجب (إلى أعلى) بقيمة −٣٠. الحل: F = ٥٠ − (−٣٠) = ٨٠ N إلى أعلى. نأخذ العزوم حول C: ٣٠ × ١٢ = ٨٠ × d فيكون d = ٤٫٥ cm. تقع القوتان في جهة واحدة من المحصلة والقوة الأكبر ٨٠ N هي الأقرب. والبعد بين القوتين ١٢ − ٤٫٥ = ٧٫٥ cm. ويبين الشكل القوة ٣٠ N إلى أسفل.
Class activity
وازِن مسطرة طولها ٣٠ cm على قلم رصاص. ضع قطعة نقدية واحدة عند العلامة ٥ cm وقطعتين متماثلتين فوق بعضهما عند العلامة ٢٠ cm. حرّك القلم حتى تتزن المسطرة: تتزن عند العلامة ١٥ cm. موضع القلم هو خط عمل محصلة الثقلين. تحقق بالقاعدة: ١ × ١٠ = ٢ × ٥ (بعد كل قطعة عن القلم). ماذا يتغير إذا وضعت ثلاث قطع عند العلامة ٢٠ cm؟
Practice
1
قوتان متوازيتان في اتجاه واحد، إحداهما ٢٤ N والمحصلة ٤٠ N وبعد خطها عن القوة ٢٤ N يساوي ١٠ cm. نعدّ اتجاه R موجبًا. أوجد القوة الأخرى والبعد بين خطي العمل.
F = ٤٠ − ٢٤ = ١٦ N. العزوم حول نقطة تأثير R: ٢٤ × ١٠ = ١٦ × d فيكون d = ١٥ cm في الجهة الأخرى، والبعد بين القوتين ٢٥ cm.
2
المحصلة نفسها ٤٠ N والبعد نفسه ١٠ cm لكن القوة ٢٤ N الآن عكس اتجاه R. نعدّ اتجاه R موجبًا. أوجد القوة الأخرى والبعد بين الخطين.
F = ٤٠ − (−٢٤) = ٦٤ N في اتجاه R. ٢٤ × ١٠ = ٦٤ × d يعطي d = ٣٫٧٥ cm في جهة القوة ٢٤ N نفسها، فالبعد بين القوتين ١٠ − ٣٫٧٥ = ٦٫٢٥ cm.
3
يحمل قضيب خفيف AB قوة ١٨ N إلى أعلى عند A. محصلة هذه القوة وقوة أخرى عند B هي ٣٠ N إلى أعلى وتؤثر على بعد ٢٠ cm من A. الاتجاه إلى أعلى موجب. أوجد القوة عند B وطول AB.
F = ٣٠ − ١٨ = ١٢ N إلى أعلى. العزوم حول نقطة تأثير R: ١٨ × ٢٠ = ١٢ × d فيكون d = ٣٠ cm وAB = ٢٠ + ٣٠ = ٥٠ cm.
4
قوة ٩٠ N إلى أعلى وقوة متوازية مجهولة محصلتهما ٦٠ N إلى أسفل، وبعد خط المحصلة عن القوة ٩٠ N يساوي ١٠ cm. نعدّ الاتجاه إلى أسفل (اتجاه R) موجبًا. أوجد القوة المجهولة والبعد بين الخطين.
القوة ٩٠ N تُحسب −٩٠ فيكون F = ٦٠ − (−٩٠) = ١٥٠ N إلى أسفل. ٩٠ × ١٠ = ١٥٠ × d يعطي d = ٦ cm في جهة القوة ٩٠ N نفسها، فالبعد بين الخطين ١٠ − ٦ = ٤ cm.
5
هل يمكن أن تكون محصلة قوتين متضادتين ١٥ N و١٠ N مساوية ٣٠ N؟ فسّر.
لا. محصلة القوتين المتضادتين هي الفرق ١٥ − ١٠ = ٥ N فلا يمكن أن تتجاوز القوة الكبرى. والمحصلة ٣٠ N تحتاج إلى قوة ثانية مقدارها ٣٠ − ١٥ = ١٥ N (متحدتا الاتجاه) أو ٣٠ + ١٥ = ٤٥ N (متضادتان) وليس ١٠ N.
