3
قوى متوازية بعضها لأعلى وبعضها لأسفل: مقدار المحصلة واتجاهها ونقطة تأثيرها بعد اختيار اتجاه موجب
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1, Part 2
Goalأوجد مقدار محصلة قوى متوازية بعضها إلى أعلى وبعضها إلى أسفل واتجاهها وخط عملها، وأستعمل محصلة معلومة لإيجاد قوى مجهولة.
New words
الاتجاه الموجب · الاتجاه الذي نختاره موجبًا؛ والقوى في الاتجاه المعاكس تأخذ إشارة سالبةالازدواج · قوتان متساويتان متضادتان متوازيتان وخطاهما متباعدان: لا توجد محصلة لكن لهما أثر دوراني
Explanation
الخطوة ١: نختار اتجاهًا موجبًا (هنا إلى أعلى) ونقطة مرجعية A على القضيب ونقيس المواضع إلى يمين A. الخطوة ٢: نجمع القوى بإشاراتها R = F₁ + F₂ + …. وتبين إشارة R اتجاهها. الخطوة ٣: نجمع العزوم حول A: Σ M = x₁F₁ + x₂F₂ + … (ΣM مجموع العزوم). الخطوة ٤: xR = (Σ M) / R. وإذا كانت xR موجبة فخط عمل R يقع إلى يمين A. وقد يقع هذا الموضع خارج القضيب: عندما تكاد القوى إلى أعلى والقوى إلى أسفل تلغي بعضها تكون R صغيرة وتؤثر بعيدًا. نتحقق من النتيجة بأخذ العزوم حول نقطة ثانية. ويبين الجدول الحالات الثلاث الممكنة.
| ما نحصل عليه | معناه |
|---|---|
| R ≠ ٠ | محصلة واحدة؛ xR = (Σ M) / R |
| R = ٠ ومجموع العزوم لا يساوي ٠ | لا توجد محصلة: القوى تكوّن ازدواجًا |
| R = ٠ ومجموع العزوم يساوي ٠ | القوى في حالة اتزان |
Worked examples
الاتجاه إلى أعلى موجب. يحمل قضيب خفيف ٤٠ N إلى أسفل عند A و٢٥ N إلى أعلى على بعد ٣ cm من A و٥٥ N إلى أعلى على بعد ٧ cm و٢٠ N إلى أسفل على بعد ١٠ cm. أوجد المحصلة. R = −٤٠ + ٢٥ + ٥٥ − ٢٠ = ٢٠ N إلى أعلى. العزوم حول A: ٠ + ٣ × ٢٥ + ٧ × ٥٥ + ١٠ × (−٢٠) = ٧٥ + ٣٨٥ − ٢٠٠ = ٢٦٠ N·cm. فيكون xR = ٢٦٠ / ٢٠ = ١٣ cm من A: يقع خط R على بعد ٣ cm بعد القوة الأخيرة. نتحقق حول النقطة عند ١٠ cm: (−١٠)(−٤٠) + (−٧)(٢٥) + (−٣)(٥٥) = ٤٠٠ − ١٧٥ − ١٦٥ = ٦٠ و٢٠ × ٣ = ٦٠.
الاتجاه إلى أعلى موجب والأطوال كلها بوحدة cm. قضيب خفيف AB طوله ١٢ cm يحمل ٣٠ N إلى أسفل عند A وقوة K إلى أعلى عند C حيث AC = ٣ و٣٠ N إلى أسفل عند D حيث AD = ٨ وقوة F إلى أعلى عند B. محصلة هذه القوى ٦٠ N إلى أعلى وتؤثر على بعد ٥ cm من A. أوجد K وF. القوى: K + F − ٣٠ − ٣٠ = ٦٠ فيكون K + F = ١٢٠. العزوم حول A: ٣K + ١٢F − ٨ × ٣٠ = ٦٠ × ٥ فيكون ٣K + ١٢F = ٥٤٠ وK + ٤F = ١٨٠. بالطرح: ٣F = ٦٠ ومنه F = ٢٠ N وK = ١٠٠ N.
Class activity
ضع مسطرة على الطاولة وطرفها ٠ cm إلى يسارك. ضع قطعة نقدية عند العلامة ٥ cm وأخرى عند العلامة ٢٥ cm وتخيل أن القطعتين تشدّان إلى أسفل. ثم تخيل قوة ثالثة تشد إلى أعلى عند العلامة ١٥ cm مساوية لقوة قطعة واحدة. دون أي وزن حدّد اتجاه محصلة القوى الثلاث (بقاعدة R = مجموع القوى بإشاراتها) وقل أين يقع خط عملها.
Practice
1
الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. قوى على قضيب خفيف AB طوله ٢٠ cm: ١٠ N إلى أعلى عند A و٣٠ N إلى أسفل على بعد ٥ cm من A و٤٠ N إلى أعلى على بعد ١٢ cm من A و٢٠ N إلى أسفل عند B. ما محصلة هذه القوى؟
R = ١٠ − ٣٠ + ٤٠ − ٢٠ = ٠. مجموع العزوم حول A هو ٥ × (−٣٠) + ١٢ × ٤٠ + ٢٠ × (−٢٠) = −١٥٠ + ٤٨٠ − ٤٠٠ = −٧٠ N·cm. لا توجد محصلة: القوى تكوّن ازدواجًا عزمه ٧٠ N·cm يدير القضيب مع عقارب الساعة.
2
الاتجاه إلى أعلى موجب. قوى على قضيب خفيف: ٨ N إلى أسفل عند A و١٥ N إلى أعلى على بعد ٢ cm من A و٥ N إلى أعلى على بعد ٦ cm و٩ N إلى أسفل على بعد ٩ cm. أوجد المحصلة وخط عملها.
R = −٨ + ١٥ + ٥ − ٩ = ٣ N إلى أعلى. العزوم حول A: ٠ + ٢ × ١٥ + ٦ × ٥ + ٩ × (−٩) = ٣٠ + ٣٠ − ٨١ = −٢١. فيكون xR = −٢١ / ٣ = −٧ cm: تؤثر R على بعد ٧ cm يسار A أي خارج القضيب.
3
الاتجاه إلى أعلى موجب. يحمل قضيب خفيف ٢٠ N إلى أسفل عند A و٣٥ N إلى أعلى على بعد ٤ cm من A و٢٥ N إلى أسفل على بعد ١٠ cm. أوجد مقدار المحصلة واتجاهها وخط عملها.
R = −٢٠ + ٣٥ − ٢٥ = −١٠ N: أي ١٠ N إلى أسفل. العزوم حول A: ٤ × ٣٥ + ١٠ × (−٢٥) = ١٤٠ − ٢٥٠ = −١١٠. xR = −١١٠ / −١٠ = ١١ cm من A أي بعد القوة ٢٥ N بمقدار ١ cm.
4
الاتجاه إلى أعلى موجب والأطوال بوحدة cm. قضيب خفيف AB طوله ٣٠ cm يحمل ٢٠ N إلى أعلى عند A وقوة مجهولة F إلى أسفل على بعد ١٢ cm من A و٥٠ N إلى أعلى عند B. محصلتها ٤٠ N إلى أعلى. أوجد F وبعد خط R عن A.
من ٢٠ − F + ٥٠ = ٤٠ نجد F = ٣٠ N. العزوم حول A: ١٢ × (−٣٠) + ٣٠ × ٥٠ = −٣٦٠ + ١٥٠٠ = ١١٤٠ فيكون xR = ١١٤٠ / ٤٠ = ٢٨٫٥ cm من A.
5
صواب أم خطأ: محصلة قوى متوازية إلى أعلى وإلى أسفل على قضيب تؤثر دائمًا بين القوتين الطرفيتين. أعط مثالًا.
خطأ. في مثال هذا الدرس تؤثر المحصلة على بعد ٣ cm بعد القوة الأخيرة، وفي التمرين الثاني تؤثر على بعد ٧ cm يسار A. لا تقع المحصلة بين القوتين الطرفيتين بالضرورة إلا عندما تتفق القوى كلها في الاتجاه.