عزم القوة: التأثير الدوراني والإحداثيات ومبدأ فارينيون
الأسبوع 2 · Moments: the turning effect of a force about a point, moment arm and sign, the moment from coordinates, and Varignon’s principle · 3 دروس
1
عزم قوة بالنسبة لنقطة: تأثير القوة في الدوران، والعزم = القوة × الذراع العمودي، واتجاه عقارب الساعة وعكسه، ووحدة نيوتن.متر
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 1
Goalأبيّن ما الذي يقيسه عزم القوة بالنسبة لنقطة، وأحسبه حاصل ضرب القوة في ذراعها العمودي مع إشارته ووحدته.
New words
عزم قوة بالنسبة للنقطة O · التأثير الدوراني للقوة حول النقطة O (مركز العزم)ذراع العزم L · البعد العمودي من O على خط عمل القوةفي اتجاه / عكس اتجاه عقارب الساعة · اتجاها الدوران؛ نعدّ عكس عقارب الساعة موجبًا وفي اتجاهها سالبًانيوتن·متر N·m · وحدة العزم: نيوتن × متر (وتُستعمل N·cm أيضًا)
Explanation
يستطيع القوة أن تدفع جسمًا على امتداد خط عملها وأن تديره أيضًا. جرّب إغلاق باب الفصل بالدفع قرب المفصلة ثم بعيدًا عنها: الدفعة نفسها تدير الباب بسهولة أكبر عند النقطة البعيدة. ويسمى التأثير الدوراني للقوة F حول نقطة O عزم القوة F بالنسبة للنقطة O (وتسمى O مركز العزم). ويتوقف على أمرين: مقدار القوة، وبُعد خط عملها عن O مقيسًا عموديًا، وهذا البعد هو ذراع العزم L. فيكون |M| = F × L. لماذا البعد العمودي؟ لأن القوة التي تتجه نحو O مباشرة (أو بعيدًا عنها مباشرة) تضغط على المفصلة فقط ولا تدير شيئًا، فذراعها صفر. والجزء الذي يدير هو المركبة العمودية على OA، والعدد F sin θ × OA هو نفسه العدد F × (OA sin θ). ولا يتغير شيء إذا انزلقت القوة على خط عملها لأن الذراع تبقى كما هي. اصطلاح الإشارة في كل الدروس: العزم عكس اتجاه عقارب الساعة موجب والعزم في اتجاه عقارب الساعة سالب. والوحدة وحدة قوة × وحدة طول: N·m (أو N·cm حيث ١٠٠ N·cm = ١ N·m). وإذا مرّ خط عمل القوة بالنقطة O كان الذراع ٠ وعزم القوة بالنسبة لـO يساوي ٠.
Worked examples
باب فصل مثبت بمفصلة عند O وعرضه ٠٫٩ m. بالنظر من أعلى يدفع طالب عند المقبض الذي يبعد ٠٫٨ m عن O بقوة ١٥ N عمودية على الباب نحو أعلى الصفحة. الذراع ٠٫٨ m فيكون |M| = ١٥ × ٠٫٨ = ١٢ N·m ويدير الباب عكس عقارب الساعة: M = +١٢ N·m. والدفع على بعد ٠٫٢ m من المفصلة يعطي ١٥ × ٠٫٢ = ٣ N·m فقط؛ ولتحصل على ١٢ N·m هناك تلزم قوة ٦٠ N.
مفتاح ربط طوله ٢٥ cm على محور x من الصامولة O. تؤثر قوة ٤٠ N عند طرفه الحر A بزاوية ٦٠° مع المفتاح، متجهة إلى أعلى وإلى اليمين. الطريقة الأولى: الذراع L = ٠٫٢٥ sin ٦٠° ≈ ٠٫٢١٦٥ m فيكون |M| = ٤٠ × ٠٫٢١٦٥ ≈ ٨٫٦٦ N·m. الطريقة الثانية: الجزء العمودي على المفتاح من القوة ٤٠ sin ٦٠° ≈ ٣٤٫٦٤ N مضروبًا في ٠٫٢٥ m فنحصل على ٨٫٦٦ N·m نفسها. والقوة تتجه إلى أعلى عند نقطة على يمين O فالدوران عكس عقارب الساعة: M = +٨٫٦٦ N·m.
يقف طالب عند باب المثال الأول ويدفعه بقوة ٢٥ N في مستوى الباب نفسه نحو المفصلة. يمر خط عمل هذه القوة بالنقطة O فالذراع ٠ والعزم ٠: لا يدور الباب بل يضغط على مفصلته فقط. وكذلك ذراع الصنبور إذا دُفع نحو محوره مباشرة فلن يدير الصنبور.
Class activity
ضع مسطرة مسطحة على المكتب وثبّت أحد طرفيها بطرف إصبع بلطف ليكون محورًا. ادفع المسطرة جانبيًا بإصبع آخر عند نقطة قريبة من المحور ثم عند نقطة بعيدة عنه بالدفعة الخفيفة نفسها: تدور بسهولة أكبر كثيرًا عندما يكون الدفع بعيدًا عن المحور. ثم ادفعها على امتداد طولها نحو المحور فلا يدور شيء. اجعل كل القوى خفيفة.
Practice
1
تؤثر قوة ٣٥ N عموديًا على ساق عند نقطة تبعد ١٢ cm عن المحور. أوجد مقدار العزم بوحدتي N·cm وN·m.
٣٥ × ١٢ = ٤٢٠ N·cm = ٤٫٢ N·m.
2
ذراع صنبور طوله ٧ cm وإصبع يدفع طرفه بقوة ٩ N عموديًا عليه. أوجد مقدار العزم حول محور الصنبور.
٩ × ٧ = ٦٣ N·cm.
3
لقوة مقدارها ٢٠ N عزم ١٥ N·m بالنسبة للنقطة O. كم يبعد خط عملها عن O؟
L = ١٥ / ٢٠ = ٠٫٧٥ m.
4
تؤثر قوة ٢٤ N عند طرف ساق طولها ٠٫٥ m وتصنع زاوية ٣٠° مع الساق. أوجد مقدار عزمها بالنسبة للطرف الآخر.
|M| = ٢٤ × ٠٫٥ × sin ٣٠° = ٦ N·m.
5
هل يمكن أن يكون عزم قوة ٥٠ N بالنسبة لنقطة O صفرًا؟ متى؟
