الأسبوع 11 · Couples: two equal opposite forces, the moment of a couple, its independence of the point, and equilibrium under several couples · 3 دروس
1
لماذا لا يعني انعدام المحصلة دائمًا انعدام الحركة: الازدواج وذراعه وعزمه M = F × L الذي يبقى ثابتًا حين تتغير القوة والذراع معًا
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 1
Goalتعرّف الازدواج وأوجد ذراعه وعزمه M = F × L بإشارته، واستعمل أن العزم لا يتغير حين تتغير القوة والذراع معًا.
New words
الازدواج · قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه وخطا عملهما مختلفانذراع الازدواج · البعد العمودي بين خطي عمل القوتين
Explanation
تأمّل صنبورًا: إذا دفعت حافته بإصبع واحد دار لكنه يميل أيضًا إلى الانزلاق جانبًا. أما إذا دفعت بإصبعين من جهتين متقابلتين بقوتين متساويتين متضادتين فإنه يدور فقط. تسمى القوتان المتساويتان في المقدار والمتضادتان في الاتجاه واللتان لا تنطبق خطا عملهما ازدواجًا. محصلتهما تساوي صفرًا F + (−F) = ٠ فلا دفع في أي اتجاه، ومع ذلك لا يكون الجسم متزنًا: ولهذا احتجنا في الأسبوع ٨ إلى شرط العزوم إلى جانب شرط القوى. ذراع الازدواج L هو البعد العمودي بين خطي عمل القوتين، وعزمه M = F × L مع إشارة الدوران: عكس اتجاه عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالب. لماذا F × L؟ نأخذ العزوم حول نقطة على خط عمل إحدى القوتين: لا عزم لهذه القوة، والقوة الأخرى F بذراع L تعطي F × L. (وسيبيّن الدرس التالي أن أي نقطة تعطي النتيجة نفسها.) وإذا تضاعفت القوة ونصف الذراع بقي M كما هو، فيمكن الحصول على الأثر الدوراني نفسه بقوة صغيرة وذراع طويل. الوحدة N·m (أو N·cm).
Worked examples
قوتان رأسيتان مقدار كل منهما ١٥ N تؤثران في لوح مستوٍ في مستواه: إحداهما إلى أعلى على اليمين والأخرى إلى أسفل على اليسار، والبعد بين خطي عملهما ٠٫٤ m. أوجد عزم الازدواج (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: المحصلة ١٥ − ١٥ = ٠ ومع ذلك يدور اللوح. الذراع L = ٠٫٤ m. الجهة اليمنى تُدفع إلى أعلى واليسرى إلى أسفل فيدور اللوح عكس عقارب الساعة، إذن M = +١٥ × ٠٫٤ = +٦ N·m.
طول الذراع L
٠٫٣ m
٠٫٤ m
٠٫٥ m
٠٫٦ m
القوة F
٤٠ N
٣٠ N
٢٤ N
٢٠ N
M = F × L
١٢ N·m
١٢ N·m
١٢ N·m
١٢ N·m
يحتاج مسمار إلى أثر دوراني ١٢ N·m (عكس عقارب الساعة). أوجد مقدار كل من قوتي الازدواج حين يكون الذراع ٠٫٣ m و٠٫٤ m و٠٫٥ m و٠٫٦ m. الحل: F = M / L فتكون القوة ١٢ / ٠٫٣ = ٤٠ N و١٢ / ٠٫٤ = ٣٠ N و١٢ / ٠٫٥ = ٢٤ N و١٢ / ٠٫٦ = ٢٠ N (الجدول). كلما طال الذراع قلّت القوة اللازمة. وإذا لم تتوفر سوى ١٥ N فيجب أن يكون الذراع ١٢ / ١٥ = ٠٫٨ m.
Class activity
ضع غطاء زجاجة على طاولة. أدِره بطرفي إصبعين من جهتين متقابلتين من حافته مع دفع في اتجاهين متضادين (ازدواج). ثم أدِره بإصبع واحد على الحافة. ماذا يفعل الإصبع الواحد بالغطاء إضافة إلى إدارته؟ جرّب الازدواج مرة والإصبعان قريبان من الوسط ومرة عند الحافة: في أي حالة يكون الذراع أكبر ويكون الدوران أسهل؟
Practice
1
لازدواج قوتان مقدار كل منهما ٢٤ N والبعد بين خطي عملهما ٠٫٢٥ m، وهو يدير الجسم عكس عقارب الساعة. أوجد عزمه (عكس عقارب الساعة موجب).
M = +٢٤ × ٠٫٢٥ = +٦ N·m.
2
عزم ازدواج −٩٠ N·cm (في اتجاه عقارب الساعة) وقوتاه ١٥ N. أوجد ذراعه.
L = |M| / F = ٩٠ / ١٥ = ٦ cm.
3
يراد استبدال ازدواج قوتاه ٢٥ N وذراعه ٨ cm بازدواج قوتاه ١٠ N له العزم نفسه والاتجاه نفسه. ما الذراع اللازم؟
قوتان أفقيتان مقدار كل منهما ٧ N تؤثران على خطين متوازيين البعد بينهما ٠٫٦ m: العليا إلى اليسار والسفلى إلى اليمين. أوجد العزم (عكس عقارب الساعة موجب).
الجزء العلوي يُدفع إلى اليسار والسفلي إلى اليمين وهذا عكس عقارب الساعة: M = +٧ × ٠٫٦ = +٤٫٢ N·m.
5
لماذا تكون محصلة الازدواج صفرًا ومع ذلك يدور الجسم؟
القوتان متساويتان ومتضادتان فمجموعهما صفر ولا دفع في أي اتجاه. لكن كلاً منهما تدير الجسم في الاتجاه نفسه حول منتصف الذراع، فتجتمع العزمان ولا يلغي أحدهما الآخر.
