الأسبوع 6 · Parallel coplanar forces: an unknown force from the resultant, sums of moments of parallel forces, and the resultant of several parallel forces · 3 دروس
2
مجموع عزوم قوى متوازية حول نقطة، ومحصلة عدة قوى متوازية متحدة الاتجاه ونقطة تأثيرها
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 2, Lesson 1, Part 2
Goalأجمع عزوم قوى متوازية حول نقطة، وأوجد مقدار محصلة عدة قوى متحدة الاتجاه وخط عملها.
New words
مجموع العزوم · جمع العزوم كلها بإشاراتها: موجبة عكس عقارب الساعة وسالبة مع عقاربهانظرية العزوم · مجموع عزوم القوى حول نقطة يساوي عزم المحصلة حول النقطة نفسها
Explanation
نأخذ قوى كلها عمودية على قضيب مستقيم ونقطة O من القضيب. نقيس موضع كل قوة x على القضيب موجبًا إلى يمين O، ونعدّ القوة F موجبة إذا كانت إلى أعلى. فيكون عزم القوة التي موضعها x حول O هو x × F: القوة إلى أعلى يمين O تدير القضيب عكس عقارب الساعة (موجب)، وكذلك القوة إلى أسفل يسار O. ومجموع العزوم حول O هو مجموع حواصل الضرب x × F كلها. وتنص نظرية العزوم على أن هذا المجموع يساوي عزم المحصلة R × xR حيث xR موضع خط عمل R. إذن xR = (Σ x × F) / R ما دامت R ≠ ٠ (الرمز Σ يعني «مجموع»). وإذا اتفقت القوى كلها في الاتجاه فالمحصلة هي مجموع مقاديرها، ويكون xR متوسطًا للمواضع يُحسب كل موضع فيه بعدد مرات يساوي مقدار القوة عنده. لذلك يقع بين القوتين الطرفيتين وأقرب إلى القوى الكبرى، وإذا تساوت القوى فهو المتوسط العادي للمواضع. يبين الشكل أربع قوى: ٦ N و٥ N إلى أعلى، و٤ N و٨ N إلى أسفل.
Worked examples
للقوى الأربع في الشكل (٦ N إلى أعلى عند A و٤ N إلى أسفل عند B و٨ N إلى أسفل عند C و٥ N إلى أعلى عند D) أوجد مجموع العزوم حول B وحول D ثم المحصلة. الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. حول B المواضع A: −٣, B: ٠, C: ٥, D: ٧ فيكون المجموع (−٣)(٦) + ٠ + ٥(−٨) + ٧(٥) = −١٨ − ٤٠ + ٣٥ = −٢٣ N·cm (مع عقارب الساعة). حول D المواضع −١٠, −٧, −٢, ٠ والمجموع −٦٠ + ٢٨ + ١٦ + ٠ = −١٦ N·cm. المحصلة R = ٦ − ٤ − ٨ + ٥ = −١ N أي ١ N إلى أسفل. من R × xR = −٢٣ نجد xR = ٢٣ cm يمين B أي ١٦ cm بعد D، والتحقق حول D: (−١)(١٦) = −١٦.
النقاط A, B, C, D على مستقيم وAB = ٢ cm وBC = ٣ cm وCD = ٥ cm. تؤثر قوى متوازية ١٥ N و٢٥ N و١٠ N و٥٠ N كلها إلى أسفل عند A, B, C, D. أوجد المحصلة وخط عملها. المحصلة هي المجموع ١٥ + ٢٥ + ١٠ + ٥٠ = ١٠٠ N إلى أسفل. نأخذ العزوم حول A والمواضع ٠, ٢, ٥, ١٠ فيكون مجموع العزوم (في المقدار) ٠ + ٢٥ × ٢ + ١٠ × ٥ + ٥٠ × ١٠ = ٦٠٠. ومنه ١٠٠ × AO = ٦٠٠ وAO = ٦ cm. يقع خط R بين C وD وأقرب إلى القوة الكبيرة ٥٠ N.
Class activity
ضع على مسطرة طولها ٣٠ cm قطعًا نقدية في ثلاثة مواضع: قطعة واحدة عند طرفها ٠ cm وقطعة عند العلامة ١٠ cm وقطعتين عند العلامة ٢٥ cm. توقع نقطة الاتزان بقاعدة المتوسط (٠ + ١٠ + ٢ × ٢٥) / ٤ = ١٥ ثم حرّك المسطرة فوق قلم رصاص لتجدها. لماذا تقع أقرب إلى الطرف ٢٥ cm منها إلى منتصف المسطرة؟
Practice
1
ثلاث قوى متحدة الاتجاه ١٢ N و١٨ N و٣٠ N كلها إلى أعلى تؤثر عند A, B, C على قضيب خفيف وAB = ٥ cm وBC = ١٠ cm. أوجد المحصلة وبعدها عن A.
الاتجاه إلى أعلى موجب والدوران عكس عقارب الساعة موجب. قضيب خفيف AB طوله ٤٠ cm يحمل ٢٠ N إلى أعلى عند A و٢٥ N إلى أسفل عند النقطة التي تبعد ١٥ cm عن A و١٥ N إلى أعلى عند B. أوجد مجموع العزوم حول A وحول B ثم المحصلة.
حول A: ٠ + ١٥ × (−٢٥) + ٤٠ × ١٥ = −٣٧٥ + ٦٠٠ = ٢٢٥ N·cm. حول B (المواضع −٤٠, −٢٥, ٠): (−٤٠)(٢٠) + (−٢٥)(−٢٥) + ٠ = −٨٠٠ + ٦٢٥ = −١٧٥ N·cm. R = ٢٠ − ٢٥ + ١٥ = ١٠ N إلى أعلى وتؤثر على بعد ٢٢٥ / ١٠ = ٢٢٫٥ cm من A (تحقق: ١٠ × (٢٢٫٥ − ٤٠) = −١٧٥).
3
تؤثر قوى متساوية متحدة الاتجاه عند A, C, D, B على مستقيم وAC : CD : DB = ٢ : ٣ : ٥. أوجد النسبة AO : OB التي تقسم بها المحصلة AB.
المواضع من A بالوحدات: ٠, ٢, ٥, ١٠. للقوى المتساوية تؤثر المحصلة عند المتوسط (٠ + ٢ + ٥ + ١٠) / ٤ = ٤٫٢٥ فيكون AO = ٤٫٢٥ وOB = ٥٫٧٥ وAO : OB = ١٧ : ٢٣.
4
تتدلى أثقال ٢ N و٣ N و٥ N من العلامات ٠ cm و١٠ cm و٣٠ cm على قضيب خفيف. عند أي علامة نربط خيطًا واحدًا ليبقى القضيب أفقيًا؟
يشد الخيط إلى أعلى بقوة تساوي محصلة الأثقال فيُربط عند خط عمل هذه المحصلة: (٢ × ٠ + ٣ × ١٠ + ٥ × ٣٠) / ١٠ = ١٨ cm.
5
لماذا يجب أن تكون R مختلفة عن الصفر قبل أن نكتب xR = (Σ x × F) / R؟ وماذا يكون عندما R = ٠ ومجموع العزوم لا يساوي الصفر؟
لا يمكن القسمة على الصفر ولا توجد قوة واحدة نضعها في موضع ما. القوى التي R = ٠ فيها وعزمها لا يساوي الصفر تكوّن ازدواجًا: تدير القضيب دون أن تحركه ككل (الوحدة الثالثة).
