الأسبوع 12 · Couples: cancelling a couple, a hanging body with a couple acting on it, equivalent couples and the exercises of Lesson 3-1 · 3 دروس
1
إلغاء ازدواج: قوة الشد في خيط وقوة أخرى يكوّنان ازدواجًا مضادًا، وإيجاد موضع القوة الثانية
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 3, Lesson 1, Part 2
Goalأوجد القوة الثانية التي تُلغي الأثر الدوراني لشدّ خيط ولازدواج موجود، وأوجد موضع تأثيرها.
New words
إلغاء ازدواج · إضافة قوى بحيث تصبح القوة الكلية صفرًا والعزم الكلي صفرًاالمحور (المسمار) · نقطة ارتكاز تعطي قوة مارة بمركزها ولا تعطي أثرًا دورانيًا حولها
Explanation
قضيب خفيف AB يرتكز على محور عند منتصفه O. قوتان عند طرفيه متساويتان وعموديتان على القضيب (إحداهما إلى أعلى والأخرى إلى أسفل) تكوّنان ازدواجًا يحاول إدارة القضيب، ويشدّ خيطٌ أيضًا عند نقطة C. نريد قوة إضافية تجعل القضيب متزنًا. التفكير: (١) محصلة القوتين عند الطرفين صفر، فلا بد أن تكون محصلة شدّ الخيط T والقوة الإضافية F صفرًا أيضًا: F تساوي T في المقدار وتعاكسها في الاتجاه وتوازيها وتؤثر عند نقطة أخرى D من القضيب. (٢) تكوّن T وF ازدواجًا يجب أن يكون عزمه مساويًا لعزم ازدواج الطرفين ومضادًا له في الاتجاه. (٣) ذراع الازدواج الجديد هو البعد العمودي بين خطي عمل T وF، وإذا كان CD المسافة على القضيب وθ الزاوية بين T والقضيب فالذراع d = CD sin θ. (٤) نساوي T × CD × sin θ بعزم ازدواج الطرفين ونحل لإيجاد CD. المحور لا يعطي هنا قوة ولا أثرًا دورانيًا. تحقق من أن النقطة D تقع على القضيب. اصطلاح الإشارة: العزم عكس عقارب الساعة موجب وفي اتجاهها سالب.
Worked examples
قضيب خفيف AB طوله ٣٠ cm يرتكز على محور عند منتصفه O. قوتان مقدار كل منهما ٤ N عموديتان على القضيب تؤثران عند A (إلى أعلى) وعند B (إلى أسفل). ويشدّ خيط بقوة T = ١٢ N عند النقطة C التي تبعد ٥ cm عن A بزاوية ٣٠° مع القضيب إلى أسفل ونحو B. أوجد القوة الإضافية التي تجعل القضيب متزنًا وموضع تأثيرها (عكس عقارب الساعة موجب). الحل: ازدواج الطرفين إلى أعلى على اليسار وإلى أسفل على اليمين أي في اتجاه عقارب الساعة: M₁ = −٤ × ٣٠ = −١٢٠ N·cm. فيجب أن تكوّن T والقوة الإضافية F ازدواجًا عزمه +١٢٠ N·cm. F = ١٢ N توازي T وتعاكسها وتؤثر عند D. الذراع CD sin ٣٠° = ٠٫٥ CD فيكون ١٢ × ٠٫٥ CD = ١٢٠ وCD = ٢٠ cm. تقع D على بعد ٢٠ cm من C في جهة B (ليكون الازدواج عكس عقارب الساعة) أي على بعد ٢٥ cm من A: على القضيب. تؤثر F إلى أعلى ونحو A بزاوية ٣٠° مع القضيب.
قضيب AB طوله ٥٠ cm يرتكز على محور عند منتصفه O وعند طرفيه قوتان عموديتان مقدار كل منهما ٦ N (ازدواج ٣٠٠ N·cm في اتجاه عقارب الساعة). يشدّ خيط بقوة ١٥ N عند C وتؤثر القوة الإضافية عند D حيث CD = ٤٠ cm. أوجد الزاوية θ بين الخيط والقضيب. الحل: تكوّن T وF ازدواجًا عزمه +٣٠٠ N·cm. ذراعه ٤٠ sin θ فيكون ١٥ × ٤٠ sin θ = ٣٠٠ وsin θ = ٠٫٥ وθ = ٣٠°. (تحقق: هذا يساوي ٦٠٠ sin θ = ٣٠٠.) في الشكل تبعد C مسافة ٢٠ cm عن المنتصف في جهة A وتبعد D مسافة ٢٠ cm في جهة B فيكون CD = ٤٠ cm.
Class activity
ضع مسطرة على طاولة وتحت منتصفها قلم رصاص كمحور. اضغط إلى أسفل عند أحد الطرفين وإلى أعلى تحت الطرف الآخر بإصبعين (ازدواج) ولاحظ أن المسطرة تدور. ثم ألغِ ذلك بزوج آخر من الأصابع قريب من المنتصف يضغط في اتجاهين متضادين. أين يجب أن يكون الزوج الثاني وبأي شدة يضغط قياسًا إلى الزوج الأول؟
Practice
1
قضيب خفيف طوله ٤٠ cm يرتكز على محور عند منتصفه. قوتان عموديتان مقدار كل منهما ٥ N عند طرفيه (إلى أعلى عند A على اليسار وإلى أسفل عند B على اليمين) تكوّنان ازدواجًا. يشدّ خيط إلى أسفل بقوة ١٠ N عند C عموديًا على القضيب. تؤثر قوة إضافية عند D لتتزن القضيبة (عكس عقارب الساعة موجب). أوجد CD وحدد في أي جهة من C تقع D.
ازدواج الطرفين إلى أعلى على اليسار وإلى أسفل على اليمين أي في اتجاه عقارب الساعة: M = −٥ × ٤٠ = −٢٠٠ N·cm. يجب أن تعطي T وF العزم +٢٠٠: ١٠ × CD = ٢٠٠ فيكون CD = ٢٠ cm. القوة إلى أسفل على اليسار وإلى أعلى على اليمين تعطي عكس عقارب الساعة، فتقع D في جهة B وتكون F = ١٠ N إلى أعلى.
2
قضيب طوله ٣٠ cm وعند طرفيه قوتان مقدار كل منهما ٦ N (مقدار عزم الازدواج ١٨٠ N·cm). يشدّ خيط بقوة ٩ N بزاوية ٣٠° مع القضيب. أوجد CD. هل يمكن أن تؤثر القوة الإضافية على القضيب؟
٩ × CD × sin ٣٠° = ١٨٠ فيكون CD = ١٨٠ / ٤٫٥ = ٤٠ cm. القضيب طوله ٣٠ cm فقط فلا تقع C وD معًا عليه: غير ممكن بهذه الأعداد.
3
للقضيب نفسه (٣٠ cm وعزم الازدواج مقداره ١٨٠ N·cm) ما أصغر شدّ T لخيط، بأي زاوية، يمكن إلغاؤه بقوة إضافية على القضيب؟
الذراع d = CD sin θ لا يزيد على ٣٠ cm (لأن CD لا يزيد على ٣٠ وsin θ لا يزيد على ١). فيكون T × ٣٠ ≥ ١٨٠ وT ≥ ٦ N. أصغر قيمة ٦ N حين يكون الخيط عموديًا على القضيب وتكون C وD عند الطرفين.
4
لماذا يجب أن تكون القوة الإضافية مساوية لشدّ الخيط T ومعاكسة له؟
قوتا الطرفين تكوّنان ازدواجًا (محصلته صفر). وللاتزان يجب أن تكون القوة الكلية صفرًا فيجب أن يكون مجموع T والقوة الإضافية صفرًا أي متساويتين ومتضادتين. ولا يجوز أن تكونا على خط واحد وإلا انعدم عزمهما ولم تلغيا ازدواج الطرفين.
5
قضيب طوله ٢٠ cm يرتكز على محور عند منتصفه وعند طرفيه قوتان عموديتان مقدار كل منهما ٣ N (ازدواج في اتجاه عقارب الساعة). يشدّ خيط عموديًا بقوة ٥ N عند C. على أي بعد من C (على طول القضيب) يجب أن تؤثر القوة الإضافية؟
