الأسبوع 4 · Moments: the general statement for a system of coplanar forces, moments in machines and mixed problems with unknowns · 3 دروس
1
تعميم النتيجة على أي نظام من القوى المستوية، وماذا يعني انعدام العزم حول نقطة، والتحقق بقوى معطاة بالمركبتين i وj
Applied Mathematics Sec 3 Term 1, Unit 1, Lesson 1, Part 3
Goalأعمّم قاعدتي النقطتين على أي مجموعة قوى مستوية تؤثر في نقاط مختلفة، وأستعمل نقطة العزم الصفري لتحديد موضع خط عمل المحصلة.
New words
مجموعة قوى · عدة قوى في مستوٍ واحد لكل منها نقطة تأثيرهامجموع العزوم ΣM_A · المجموع الجبري لعزوم كل القوى بالنسبة للنقطة Aمكافئ · له المحصلة نفسها والعزم نفسه بالنسبة لكل نقطة
Explanation
تؤثر القوى الآن في نقاط مختلفة من جسم، ولكل منها موضعها (x, y) ومركبتاها (Fx, Fy) وكلها في مستوٍ واحد. ولإيجاد العزم الكلي بالنسبة لنقطة P أوجد عزم كل قوة بموضعها مقيسًا من P ثم اجمع: وهذا هو ΣM_P. فإذا كان مجموع القوى محصلة R لا تساوي صفرًا كانت المجموعة كلها مكافئة للقوة R المؤثرة على خط عمل واحد: أي أن عزمها الكلي بالنسبة لكل نقطة هو عزم R. فتصح حقائق الأسبوع الماضي على المجاميع. (١) إذا كان ΣM_A = ΣM_B فخط عمل R يوازي AB. (٢) إذا كان ΣM_A = −ΣM_B فهو يمر بمنتصف AB. (٣) إذا كان ΣM_C = ٠ فالنقطة C على خط عمل R (أو R صفر). وهناك طريقة لتحديد الخط أيضًا: أي نقطة (x, y) عليه تحقق x Ry − y Rx = ΣM_O، فمثلًا عند تقاطعه مع محور x (y = ٠) يكون x Ry = ΣM_O. وللعمل اكتب كل قوة بمركبتيها i وj واحسب كل عزم بموضعها من النقطة المختارة ثم اجمع. وعكس عقارب الساعة موجب. (وإذا كانت R صفرًا فالمجموعة إما متزنة أو ازدواج وتدرسه الوحدة الثالثة.)
Worked examples
تؤثر ثلاث قوى في لوح: F₁ = (٣, ١) N عند P₁(٠, ٢) وF₂ = (−١, ٢) N عند P₂(٤, ٠) وF₃ = (١, −٤) N عند P₃(٢, −٣). محصلتها R = (٣, −١) N. بالنسبة لـB(١, ١): P₁ − B = (−١, ١) فالعزم (−١)(١) − ١ × ٣ = −٤؛ P₂ − B = (٣, −١) فالعزم ٣ × ٢ − (−١)(−١) = ٥؛ P₃ − B = (١, −٤) فالعزم ١ × (−٤) − (−٤)(١) = ٠؛ والمجموع ١ N·m. بالنسبة لـC(٧, −١): P₁ − C = (−٧, ٣) فالعزم (−٧)(١) − ٣ × ٣ = −١٦؛ P₂ − C = (−٣, ١) فالعزم (−٣)(٢) − ١ × (−١) = −٥؛ P₃ − C = (−٥, −٢) فالعزم (−٥)(−٤) − (−٢)(١) = ٢٢؛ والمجموع ١ N·m. المجموعان متساويان فيوازي خط عمل R الخط BC. تحقق: BC = (٦, −٢) توازي R = (٣, −١).
اللوح نفسه وR = (٣, −١) N. بالنسبة لـB(١, ٣): P₁ − B = (−١, −١) فالعزم (−١)(١) − (−١)(٣) = ٢؛ P₂ − B = (٣, −٣) فالعزم ٣ × ٢ − (−٣)(−١) = ٣؛ P₃ − B = (١, −٦) فالعزم ١ × (−٤) − (−٦)(١) = ٢؛ والمجموع ٧ N·m. بالنسبة لـC(٥, −٣): P₁ − C = (−٥, ٥) فالعزم (−٥)(١) − ٥ × ٣ = −٢٠؛ P₂ − C = (−١, ٣) فالعزم (−١)(٢) − ٣ × (−١) = ١؛ P₃ − C = (−٣, ٠) فالعزم (−٣)(−٤) − ٠ = ١٢؛ والمجموع −٧ N·m. المجموعان متضادان فيمر خط عمل R بمنتصف BC وهو (٣, ٠).
أين يقطع خط عمل R = (٣, −١) محور x؟ مجموع العزوم بالنسبة لـO يساوي −٣ N·m (من اللوح نفسه: (٠, ٢): ٠ × ١ − ٢ × ٣ = −٦؛ (٤, ٠): ٤ × ٢ − ٠ = ٨؛ (٢, −٣): ٢ × (−٤) − (−٣)(١) = −٥؛ المجموع −٣). عند النقطة (x, ٠) من الخط: x Ry − ٠ × Rx = x × (−١) = −٣ فتكون x = ٣. يقطع خط العمل محور x عند (٣, ٠)، وهي النقطة نفسها التي وجدناها منتصفًا في المثال السابق، فمجموع العزوم بالنسبة لـ(٣, ٠) يساوي صفرًا.
Class activity
علّم على ورق مربعات النقاط P₁ وP₂ وP₃ من المثال الأول وارسم كل قوة بسهم صغير (مربع واحد لكل ١ N). علّم B وC والنقطة (٣, ٠) وارسم سهم المحصلة المار بـ(٣, ٠) بميل −١/٣. تحقق بالنظر من أن B وC على البعد نفسه من هذا الخط وعلى الجانب نفسه.
Practice
1
تؤثر القوتان F₁ = (٢, ٣) N عند (١, ٠) وF₂ = (−٤, ١) N عند (٠, ٢) في لوح. أوجد مجموع عزميهما بالنسبة لـB(٢, ١) (عكس عقارب الساعة موجب).
